Drei gleiche Uhren

Abbildung 2.4: drei gleiche Uhren

Das Raumzeitdiagramm 2.4 zeigt, daß die Definition gleicher Uhren stimmig ist: die Uhr des Beobachters $\mathcal{B}_3$ ist der Uhr von $\mathcal{B}_1$ gleich, wenn sie der Uhr von $\mathcal{B}_2$ gleich ist und wenn die Uhr von $\mathcal{B}_2$ der Uhr von $\mathcal{B}_1$ gleich ist. Denn dann gilt $t^4=t_+^2t_-^2=t_{++}t_{+-}t_{-+}t_{--}$. Wie in (2.4) gilt $t_{-+}=\kappa(\mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2)\kappa(\mathcal{B}_2,\mathcal{B}_1)t_{--}$ und $\kappa(\mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2)\kappa(\mathcal{B}_2,\mathcal{B}_1)t_{+-}=t_{++}$. Also gilt $t^4=t_{++}^2t_{--}^2$, und die Uhr von $\mathcal{B}_3$ ist der Uhr von $\mathcal{B}_1$ gleich. Sind zwei Uhren einer dritten gleich, so sind sie einander gleich.

Dies gilt auch, wenn die Weltlinie von $\mathcal{B}_1$ nicht in der Ebene verläuft, die von $\mathcal{B}_2$ und $\mathcal{B}_3$ aufgespannt wird. Denn die Weltlinie von $\mathcal{B}_1$ kann in diese Ebene gedreht werden, ohne den Gang der Uhr zu ändern.