Nächste Seite: Verwandte geodätische Linien Aufwärts: Konforme Abbildungen Vorherige Seite: Konforme Abbildungen   Inhalt   Index

Konform verwandte Metriken

Zwei Metriken $ \hat{g}_{mn}(x)$ und $ {g}_{mn}(x)$ auf einer Mannigfaltigkeit $ \mathcal{M}$ heißen konform verwandt, wenn sie an jedem Punkt zueinander proportional sind

$\displaystyle \hat{g}_{mn}(x)=\Omega^2(x){g}_{mn}(x)\ .$ (13.1)

Der konforme Faktor $ \Omega^2$ darf vom Ort abhängen, aber nirgends verschwinden.

Größenverhältnisse von Tangentialvektoren und Winkel zwischen ihnen, die man mit konform verwandten Metriken mißt, stimmen überein. Denn sie sind durch Verhältnisse von Skalarprodukten definiert; und für die Skalarprodukte $ u\cdot v=u^mv^ng_{mn}$ und $ u \ast v=u^mv^n\Omega^2 g_{mn}=\Omega^2 u\cdot v$ und für beliebige Vektoren $ u$, $ v$, $ w$ und $ x$ gilt

$\displaystyle \frac{u \ast v}{w \ast x}= \frac{u\cdot v}{w\cdot x}\ .$ (13.2)



Unterabschnitte

FAQ Homepage