Verwandte geodätische Linien

Lichtstrahlen, die Weltlinien von Lichtpulsen, sind lichtartige geodätische Linien $x(s)$ und stimmen bei konform verwandten Metriken überein. Denn das Christoffelsymbol $\hat{\Gamma}_{kl}{}^m$ der Metrik $\hat{g}_{mn}$ hängt mit dem Christoffelsymbol ${\Gamma}_{kl}{}^m$ der Metrik ${g}_{mn}$ durch

$$\hat{\Gamma}_{kl}{}^m={\Gamma}_{kl}{}^m + S_{kl}{}^m\ ,\quad S_{k... ...a\delta_l{}^m + \partial_l\Omega\delta_k{}^m - g_{kl} g^{mn}\partial_n \Omega )$$ (13.3)

zusammen. Wenn wir den Tangentialvektor $\frac{dx}{d\hat{s}}$ längs des Lichtstrahls mit  $\hat{\Gamma}$ kovariant ableiten (C.114)

$$\frac{d^2 x^m}{d\hat{s}^2}+ \frac{dx^k}{d\hat{s}}\frac{dx^l}{d\ha... ...mega^{-1}\frac{dx}{d\hat{s}}\cdot \frac{dx}{d\hat{s}}g^{mn}\partial_n \Omega\ ,$$ (13.4)

wobei wir $\Omega(\hat{s})=\Omega(x(\hat{s}))$ als Funktion des Bahnparameters $\hat{s}$ auffassen, so verschwindet der letzte Term, weil $\frac{dx}{d\hat{s}}$ lichtartig ist. Der vorletzte Term kann durch eine Reparametrisierung absorbiert werden; deuten wir die Terme als Ableitungen von $x^m(s(\hat{s}))$, so haben sie die Form

$$\bigl(\frac{ds}{d\hat{s}}\bigr)^2\bigl ( \frac{d^2 x^m}{ds^{2}}+ ... ...s}} \frac{ds}{d\hat{s}} + \frac{d^2\!\, s}{d\hat{s}^2}\bigr )\frac{dx^m}{ds}\ .$$ (13.5)

Die letzte Klammer verschwindet, wenn der Bahnparameter $s(\hat{s})$ als

$$s(\hat{s})=\int^{\hat{s}}\!ds^\prime\, \Omega^{-2}(s^\prime)$$ (13.6)

gewählt wird. In dieser Parametrisierung ist die Geodätengleichung für Lichtstrahlen bezüglich der Metrik $g_{mn}$ erfüllt, wenn sie für die Metrik $\hat{g}_{mn}$ gilt.

$$0=\frac{d^2 x^m}{d\hat{s}^2}+ \frac{dx^k}{d\hat{s}}\frac{dx^l}{d\... ... \frac{d^2 x^m}{ds^{2}}+ \frac{dx^k}{ds}\frac{dx^l}{ds}{\Gamma}_{kl}{}^m\bigr )$$ (13.7)

Geodätische Linien der Metrik $\hat{g}_{mn}$ sind, wenn sie nicht lichtartig sind und wenn $\Omega$ nicht konstant ist, keine Geraden der Metrik $g_{mn}$. Denn in der Parametrisierung

$$s(\hat{s})=\int^{\hat{s}}\!ds^\prime\, \Omega^{-1}(s^\prime)$$ (13.8)

gilt $\frac{dx}{ds}\cdot \frac{dx}{ds}=1$, wenn $\frac{dx}{d\hat{s}}\ast \frac{dx}{d\hat{s}}=1$ erfüllt ist, und

$$\frac{d^2 x^m}{d\hat{s}^2}+ \frac{dx^k}{d\hat{s}}\frac{dx^l}{d\ha... ...tom{m}}}\frac{dx^n}{ds^{\phantom{m}}} )\, \Omega^{-1}\partial_n\Omega\bigr )\ .$$ (13.9)