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Verwandte geodätische Linien

Lichtstrahlen, die Weltlinien von Lichtpulsen, sind lichtartige geodätische Linien $ x(s)$ und stimmen bei konform verwandten Metriken überein. Denn das Christoffelsymbol $ \hat{\Gamma}_{kl}{}^m$ der Metrik $ \hat{g}_{mn}$ hängt mit dem Christoffelsymbol $ {\Gamma}_{kl}{}^m$ der Metrik $ {g}_{mn}$ durch

$\displaystyle \hat{\Gamma}_{kl}{}^m={\Gamma}_{kl}{}^m + S_{kl}{}^m\ ,\quad S_{k...
...a\delta_l{}^m + \partial_l\Omega\delta_k{}^m - g_{kl} g^{mn}\partial_n \Omega )$ (13.3)

zusammen. Wenn wir den Tangentialvektor $ \frac{dx}{d\hat{s}}$ längs des Lichtstrahls mit  $ \hat{\Gamma}$ kovariant ableiten (C.114)

$\displaystyle \frac{d^2 x^m}{d\hat{s}^2}+ \frac{dx^k}{d\hat{s}}\frac{dx^l}{d\ha...
...mega^{-1}\frac{dx}{d\hat{s}}\cdot \frac{dx}{d\hat{s}}g^{mn}\partial_n \Omega\ ,$ (13.4)

wobei wir $ \Omega(\hat{s})=\Omega(x(\hat{s}))$ als Funktion des Bahnparameters $ \hat{s}$ auffassen, so verschwindet der letzte Term, weil $ \frac{dx}{d\hat{s}}$ lichtartig ist. Der vorletzte Term kann durch eine Reparametrisierung absorbiert werden; deuten wir die Terme als Ableitungen von $ x^m(s(\hat{s}))$, so haben sie die Form

$\displaystyle \bigl(\frac{ds}{d\hat{s}}\bigr)^2\bigl ( \frac{d^2 x^m}{ds^{2}}+ ...
...s}} \frac{ds}{d\hat{s}} + \frac{d^2\!\, s}{d\hat{s}^2}\bigr )\frac{dx^m}{ds}\ .$ (13.5)

Die letzte Klammer verschwindet, wenn der Bahnparameter $ s(\hat{s})$ als

$\displaystyle s(\hat{s})=\int^{\hat{s}}\!ds^\prime\, \Omega^{-2}(s^\prime)$ (13.6)

gewählt wird. In dieser Parametrisierung ist die Geodätengleichung für Lichtstrahlen bezüglich der Metrik $ g_{mn}$ erfüllt, wenn sie für die Metrik $ \hat{g}_{mn}$ gilt.

$\displaystyle 0=\frac{d^2 x^m}{d\hat{s}^2}+ \frac{dx^k}{d\hat{s}}\frac{dx^l}{d\...
... \frac{d^2 x^m}{ds^{2}}+ \frac{dx^k}{ds}\frac{dx^l}{ds}{\Gamma}_{kl}{}^m\bigr )$ (13.7)

Geodätische Linien der Metrik $ \hat{g}_{mn}$ sind, wenn sie nicht lichtartig sind und wenn $ \Omega$ nicht konstant ist, keine Geraden der Metrik $ g_{mn}$. Denn in der Parametrisierung

$\displaystyle s(\hat{s})=\int^{\hat{s}}\!ds^\prime\, \Omega^{-1}(s^\prime)$ (13.8)

gilt $ \frac{dx}{ds}\cdot \frac{dx}{ds}=1$, wenn $ \frac{dx}{d\hat{s}}\ast \frac{dx}{d\hat{s}}=1$ erfüllt ist, und

$\displaystyle \frac{d^2 x^m}{d\hat{s}^2}+ \frac{dx^k}{d\hat{s}}\frac{dx^l}{d\ha...
...tom{m}}}\frac{dx^n}{ds^{\phantom{m}}} )\, \Omega^{-1}\partial_n\Omega\bigr )\ .$ (13.9)




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