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Weyltensor

Wir unterstellen im folgenden, daß die Dimension $ d$ der Mannigfaltigkeit größer als 2 ist. In einer Dimension und auch in jeder $ d=2$ dimensionalen Mannigfaltigkeit (E.54) sind alle Metriken gleicher Signatur konform verwandt.

Der zur Konnektion $ \hat{\Gamma}_{kl}{}^m$ (E.3) gehörige Riemanntensor $ \hat{R}_{klm}{}^n$ (C.76) unterscheidet sich vom Riemanntensor $ {R}_{klm}{}^n$ der Konnektion $ {\Gamma}_{kl}{}^m$ nur um Terme

$\displaystyle \hat{R}_{klm}{}^n - {R}_{klm}{}^n =$ $\displaystyle D_k S_{lm}{}^n - D_l S_{km}{}^n - S_{km}{}^r S_{lr}{}^n + S_{lm}{}^r S_{kr}{}^n$ (13.10)
$\displaystyle =$ $\displaystyle \,\bigl ( \delta_l^n D_k D_m \Omega -\delta_k^n D_l D_m \Omega + g_{km}g^{nr} D_l D_r \Omega - g_{lm}g^{nr} D_k D_r \Omega\bigr )\Omega^{-1}+$    
$\displaystyle +$ $\displaystyle \bigl ( 2\delta_k^n(\partial_l \Omega)(\partial_m \Omega) - 2\del...
...(g_{km}\delta_l^n-g_{lm}\delta_k^n) g^{rs}(\partial_r\Omega)(\partial_s\Omega)+$    
  $\displaystyle + 2 (g_{lm}\partial_k\Omega-g_{km}\partial_l\Omega )g^{nr}\partial_r\Omega \bigr )\Omega^{-2}\ ,$    

bei denen ein Indexpaar von der Metrik oder vom Kronecker-Delta getragen wird. Daher stimmt der total spurfreie Anteil beider Riemanntensoren, der Weyltensor $ {W}_{klm}{}^n$, bei konform verwandten Metriken überein, $ \hat{W}_{klm}{}^n={W}_{klm}{}^n$. In der Indexstellung

\begin{displaymath}\begin{split}W_{mnkl}= R_{mnkl}&-\frac{1}{d-2}\bigl ( g_{lm }...
...1)}\bigl ( g_{lm }g_{kn}- g_{lm }g_{kn}\bigr ) R\ , \end{split}\end{displaymath} (13.11)

sind die Komponenten der Weyltensoren einander mit dem Faktor $ \Omega^2$ proportional, $ \hat{W}_{klmn}=\Omega^2{W}_{klmn}$, der vom Herunterziehen des vierten Index rührt, $ \hat{W}_{klmn}=\hat{g}_{nr}\hat{W}_{klm}{}^r$.

Der Weyltensor hat dieselben Permutationssymmetrien wie der Riemanntensor

$\displaystyle W_{mnkl}=-W_{nmkl}=-W_{mnlk}=W_{klmn}\ ,\quad W_{mnkl}+W_{nkml}+W_{kmnl}=0\ .$ (13.12)

Der Weyltensor verschwindet in $ d=3$ Dimensionen: in einer Dreibeinbasis ist die Spurfreiheit ein invertierbares, linear homogenes Gleichungssystem, $ 0=W_{acbd}\eta^{cd}$,

\begin{equation*}\begin{aligned}0&=W_{1212}\eta^{22}+ W_{1313}\eta^{33}\ ,\quad&...
... ,\quad& 0&=W_{3131}\eta^{11}+ W_{3232}\eta^{22}\ , \end{aligned}\end{equation*}

das $ W_{abcd}=0$ zur Folge hat.




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