Weyltensor

Wir unterstellen im folgenden, daß die Dimension $d$ der Mannigfaltigkeit größer als 2 ist. In einer Dimension und auch in jeder $d=2$ dimensionalen Mannigfaltigkeit (E.54) sind alle Metriken gleicher Signatur konform verwandt.

Der zur Konnektion $\hat{\Gamma}_{kl}{}^m$ (E.3) gehörige Riemanntensor $\hat{R}_{klm}{}^n$ (C.76) unterscheidet sich vom Riemanntensor ${R}_{klm}{}^n$ der Konnektion ${\Gamma}_{kl}{}^m$ nur um Terme

$$\hat{R}_{klm}{}^n - {R}_{klm}{}^n = D_k S_{lm}{}^n - D_l S_{km}{}^n - S_{km}{}^r S_{lr}{}^n + S_{lm}{}^r S_{kr}{}^n$$ (13.10)

$$= \,\bigl ( \delta_l^n D_k D_m \Omega -\delta_k^n D_l D_m \Omega + g_{km}g^{nr} D_l D_r \Omega - g_{lm}g^{nr} D_k D_r \Omega\bigr )\Omega^{-1}+$$

$$+ \bigl ( 2\delta_k^n(\partial_l \Omega)(\partial_m \Omega) - 2\del... ...(g_{km}\delta_l^n-g_{lm}\delta_k^n) g^{rs}(\partial_r\Omega)(\partial_s\Omega)+$$

$$+ 2 (g_{lm}\partial_k\Omega-g_{km}\partial_l\Omega )g^{nr}\partial_r\Omega \bigr )\Omega^{-2}\ ,$$

bei denen ein Indexpaar von der Metrik oder vom Kronecker-Delta getragen wird. Daher stimmt der total spurfreie Anteil beider Riemanntensoren, der Weyltensor ${W}_{klm}{}^n$, bei konform verwandten Metriken überein, $\hat{W}_{klm}{}^n={W}_{klm}{}^n$. In der Indexstellung

$$\begin{split}W_{mnkl}= R_{mnkl}&-\frac{1}{d-2}\bigl ( g_{lm }... ...1)}\bigl ( g_{lm }g_{kn}- g_{lm }g_{kn}\bigr ) R\ , \end{split}$$ (13.11)

sind die Komponenten der Weyltensoren einander mit dem Faktor $\Omega^2$ proportional, $\hat{W}_{klmn}=\Omega^2{W}_{klmn}$, der vom Herunterziehen des vierten Index rührt, $\hat{W}_{klmn}=\hat{g}_{nr}\hat{W}_{klm}{}^r$.

Der Weyltensor hat dieselben Permutationssymmetrien wie der Riemanntensor

$$W_{mnkl}=-W_{nmkl}=-W_{mnlk}=W_{klmn}\ ,\quad W_{mnkl}+W_{nkml}+W_{kmnl}=0\ .$$ (13.12)

Der Weyltensor verschwindet in $d=3$ Dimensionen: in einer Dreibeinbasis ist die Spurfreiheit ein invertierbares, linear homogenes Gleichungssystem, $0=W_{acbd}\eta^{cd}$,

$$\begin{aligned}0&=W_{1212}\eta^{22}+ W_{1313}\eta^{33}\ ,\quad&... ... ,\quad& 0&=W_{3131}\eta^{11}+ W_{3232}\eta^{22}\ , \end{aligned}$$

das $W_{abcd}=0$ zur Folge hat.