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Skalarfeld

Der zur Konnektion $ \hat{\Gamma}_{kl}{}^m$ (E.3) gehörige Riccitensor $ \hat{R}_{km}=\hat{R}_{klm}{}^l$ ist dem Riccitensor $ R_{km}$ der Konnektion $ {\Gamma}_{kl}{}^m$ gemäß (E.10) verwandt

$\displaystyle \hat{R}_{km} =$ $\displaystyle {R}_{km}+ \Omega^{-1}\bigl ( (d-2) D_k D_m \Omega + g_{km}g^{rs} D_r D_s \Omega\bigr )+$ (13.14)
  $\displaystyle +\Omega^{-2}\bigl (- 2(d-2) (\partial_k \Omega)(\partial_m \Omega) +(d-3) g_{mk}g^{rs}(\partial_r\Omega)(\partial_s\Omega) \bigr )\ .$    

Für den Krümmungsskalar $ \hat{R}= \hat{g}^{km}\hat{R}_{km}= \Omega^{-2}g^{km}\hat{R}_{km}$ gilt

$\displaystyle \hat{R}=\Omega^{-2}R + 2(d-1)\Omega^{-3}g^{rs}D_rD_s\Omega +(d-4)(d-1)\Omega^{-4}g^{rs}(\partial_r\Omega)(\partial_s\Omega)\ .$ (13.15)

Insbesondere erfüllt $ \phi=\Omega^{\frac{d-2}{2}}$ bei konstantem Krümmungsskalar $ R=\frac{4(d-1)}{d-2}m^2$ und $ \hat{R}=-\frac{4(d-1)}{d-2}\lambda$ die Bewegungsgleichung eines selbstgekoppelten Skalarfeldes ähnlich dem Higgsfeld im Standardmodell der elementaren Wechselwirkungen

$\displaystyle g^{rs}D_r D_s \phi + m^2 \phi + \lambda \phi^{\frac{d+2}{d-2}} = 0\ .$ (13.16)

Diese Bewegungsgleichung des Skalarfeldes $ \phi$ besagt, daß die Wirkung mit der Einstein-Hilbert-Lagrangedichte (8.3)

\begin{equation*}\begin{aligned}\mathscr{L}=\frac{d-2}{8(d-1)}\sqrt{\hat{g}}(\ha...
...\sqrt{\mathrm{g}}g^{rs}\phi\partial_s\phi\bigr )\ , \end{aligned}\end{equation*}

bei festgehaltener Metrik $ g_{mn}$ extremal ist bei beliebigen, lokalen Variationen des konformen Faktors $ \Omega^2=\phi^{\frac{4}{d-2}}$. Jeder nullstellenfreien Lösung seiner Bewegungsgleichung in einem Raum mit konstantem Krümmungsskalar $ (d-2)R=4(d-1)m^2$ entspricht eine konform verwandte Metrik mit ebenfalls konstantem Krümmungsskalar $ (d-2)\hat{R}=2d\Lambda$.

In $ d=3$, $ 4$ oder $ 6$ Dimensionen ist $ \sqrt{\mathrm{g}}\phi^{\frac{2d}{d-2}}$ eine polynomiale Selbstkopplung, nämlich $ \sqrt{\mathrm{g}}\phi^6$, $ \sqrt{\mathrm{g}}\phi^4$ oder $ \sqrt{\mathrm{g}}\phi^3$.




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