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Konform flache Metrik

Wir nennen eine Metrik $ g_{km}$ konform flach, wenn sie in einer genügend kleinen Umgebung jedes Punktes einer flachen Metrik $ \hat{g}_{km}$, $ \hat{R}_{klm}{}^n=0$, konform verwandt ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn der Weyltensor und der Cottontensor

$\displaystyle R_{kl\,m}= D_k R_{lm}- D_l R_{km}-\frac{1}{2(d-1)}(g_{ml}D_k R- g_{mk}D_l R)$ (13.18)

verschwinden. Um dies zu zeigen, schreiben wir (E.14) mit Hilfe von (E.15) im Fall $ \hat{R}_{km}= 0$ als Differentialgleichungssystem für $ \Omega$ und $ v_k=D_k \Omega$

$\displaystyle D_k \Omega = v_k\ ,\quad D_k v_m = -\frac{1}{d-2}\Omega (R_{km}-\...
...{1}{2(d-1)}g_{km}R)+ \Omega^{-1}(2 v_k v_m - \frac{1}{2}g_{km}g^{rs}v_r v_s)\ .$ (13.19)

Notwendigerweise müssen nach erneutem Ableiten und Antisymmetrisieren in den Ableitungsindizes beide Seiten übereinstimmende Ergebnisse liefern.

Ohne weitere Einschränkung ist $ [D_l,D_k]\Omega= 0=D_l v_k - D_k v_l$ erfüllt. Die Bedingung % latex2html id marker 90079
$ -R_{lkm}{}^nv_n \stackrel{\ref{komkovabl}}{=}[D_l,D_k]v_m= D_l(D_k v_m)-D_k(D_lv_m)$ besagt mit der abkürzenden Notation

$\displaystyle r_{km}= R_{km}-\frac{1}{2(d-1)}g_{km}R\ ,$ (13.20)
$\displaystyle -R_{lkmn}v^n=\frac{1}{d-2}\bigl( (g_{km}{r}_{ln} -g_{kn}{r}_{lm} -g_{lm}{r}_{kn} + g_{ln}{r}_{km} )v^n + \Omega(D_k r_{lm} - D_l r_{km}) \bigr) \ .$ (13.21)

Auf die linke Seite gebracht kombinieren sich die $ r_{km}$-Terme mit dem Riemanntensor zum Weyltensor. Er verschwindet notwendig, weil er mit dem Weyltensor der konform verwandten, flachen Metrik übereinstimmt. Folglich gilt bei konform flacher Metrik

$\displaystyle -W_{lkmn} v^n = 0 = \frac{\Omega}{d-2}\bigl( D_k r_{lm} - D_l r_{km} \bigr )\ .$ (13.22)

Weil $ \Omega$ nicht verschwindet, muß notwendig der Cottontensor verschwinden.

Verschwinden der Weyltensor und der Cottontensor, dann existiert nach dem Satz von Frobenius, den man leicht auf kovariante Ableitungen verallgemeinert, in einer genügend kleinen Umgebung jedes Punktes eine nullstellenfreie Lösung $ \Omega$ von (E.19). Sie ist eindeutig durch den frei wählbaren Wert von $ \Omega$ und $ D_k \Omega$ an einem Punkt festgelegt. Die konform verwandte Metrik $ \Omega^2g_{mn}$ hat nach (E.14) verschwindenden Riccitensor $ \hat{R}_{km}$ und verschwindenden Weyltensor, also verschwindenden Riemanntensor, $ \hat{R}_{klm}{}^n=0$.

Im $ d=3$ dimensionalen Raum sind Metriken genau dann konform flach, wenn $ R_{kl\,m}= 0$ verschwindet, denn der Weyltensor verschwindet dort identisch. In mehr als drei Dimensionen sind Metriken genau dann konform flach, wenn der Weyltensor verschwindet; denn wenn man für $ D_nW_{klm}{}^n$ die kontrahierte zweite Bianchi-Identität (C.62)


verwendet, erhält man


$\displaystyle D_nR_{klm}{}^n= -D_k R_{lnm}{}^n-D_lR_{nkm}{}^n=-D_kR_{lm}+D_l R_{km}D_n W_{klm}{}^n=-\frac{d-3}{d-2}R_{kl\,m}\ .$ (13.23)




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