Nächste Seite: Maximal symmetrische Räume Aufwärts: Konforme Abbildungen Vorherige Seite: Konform flache Metrik   Inhalt   Index


Killinggleichung

Eine Mannigfaltigkeit $ \mathcal{M}$ mit Metrik $ g_{mn}(x)$ ist einer Mannigfaltigkeit $ \mathcal{N}$ mit Metrik $ {g}_{mn}(x^\prime)$ konform, wenn es eine invertierbare Abbildung $ \Phi:x\mapsto x^\prime(x)$ von $ \mathcal{M}$ auf $ \mathcal{N}$ gibt, die auf $ \mathcal{M}$ eine zu $ g_{mn}(x)$ konform verwandte Metrik induziert (A.93)

$\displaystyle \frac{\partial x^{\prime\,m}}{\partial x^k}\frac{\partial x^{\prime\,n}}{\partial x^l} {g}_{mn}(x^\prime(x))=\mathrm{e}^{\lambda(x)} g_{kl}(x)\ .$ (13.24)

Der konforme Faktor $ \mathrm{e}^{\lambda(x)}$ kann vom Ort abhängen, aber nicht verschwinden.

Die Abbildung $ \Phi$ bleibt konform, wenn statt $ g_{mn}(x)$ auf $ \mathcal{M}$ und statt $ g_{mn}(x^\prime)$ auf $ \mathcal{N}$ konform verwandte Metriken $ \Omega^2g_{mn}$ zugrunde gelegt werden.

Unter der konformen Abbildung $ \Phi$ bleiben Größenverhältnisse von Tangentialvektoren am selben Punkt $ x$, die durch $ \Phi_*$ (A.89) verschleppt werden, und insbesondere Winkel unverändert

$\displaystyle \Phi_*v\cdot \Phi_*w=v^k \frac{\partial x^{\prime\,m}}{\partial x...
...)=\mathrm{e}^{\lambda(x)} v^k w^l g_{kl}(x)=\mathrm{e}^{\lambda(x)} v\cdot w\ .$ (13.25)

Infinitesimale Kugelflächen $ v^2=$konst werden auf infinitesimale Kugelflächen abgebildet.

Wenn der konforme Faktor überall $ \mathrm{e}^{\lambda(x)}=1$ ist, so läßt die Abbildung $ \Phi$ alle Längenquadrate von Tangentialvektoren unverändert und ist eine Isometrie.

Die konforme Abbildung ist bis auf konforme Selbstabbildungen von $ \mathcal{M}$ oder $ \mathcal{N}$ eindeutig. Ist $ \Phi_2$ eine weitere konforme Abbildung von $ \mathcal{M}$ auf $ \mathcal{N}$, so ist $ g=\Phi^{-1}\circ \Phi_2$ eine konforme Selbstabbildung oder Transformation von $ \mathcal{M}$ und $ h=\Phi_2\circ \Phi^{-1}$ ist eine konforme Transformation von $ \mathcal{N}$ und es gilt $ \Phi_2=\Phi\circ g=h\circ \Phi$.

Die konformen Transformationen von $ \mathcal{M}$ bilden eine Gruppe $ G$. Sie ist $ H=\Phi\circ G\circ \Phi^{-1}$, der konformen Gruppe von $ \mathcal{N}$, ähnlich.

Differenzieren wir eine einparametrige Schar $ \Phi_\alpha$ von konformen Transformationen (E.25) nach dem Transformationsparameter bei $ \alpha = 0$, $ \Phi_0 =$   id, so erhalten wir mit (A.95, A.99) und $ \epsilon=\frac{1}{2}\partial_\alpha \lambda_{\vert _{\alpha=0}}$ die nach Wilhelm Killing [45] benannte konforme Killinggleichung

$\displaystyle \xi^k\partial_k g_{mn}+(\partial_m\xi^k) g_{kn}+(\partial_n\xi^k) g_{mk}-2\epsilon g_{mn}=0\ .$ (13.26)

Falls $ \epsilon$ verschwindet, sprechen wir von der Killinggleichung. Das Killingfeld $ \xi$ ist eine infinitesimale Isometrie; die Lieableitung der Metrik längs $ \xi$ verschwindet

$\displaystyle \xi^k\partial_k g_{mn}+(\partial_m\xi^k) g_{kn}+(\partial_n\xi^k) g_{mk}=0\ .$ (13.27)

Die Killinggleichung schränkt sowohl das Killingfeld $ \xi$ ein, nämlich, eine Symmetrie der Metrik zu sein, als auch die Metrik, eine Symmetrie zu haben.

Mit kovarianten Ableitungen (C.109) geschrieben, lautet die Killinggleichung

$\displaystyle D_m \xi_n = \omega_{mn}\ ,\quad \omega_{mn}=-\omega_{nm}\ .$ (13.28)

Dabei ist $ \xi_m = g_{mn}\xi^n$, und die kovariante Ableitung wird mit der metrikkompatiblen, torsionsfreien Levi-Civita-Konnektion, dem Christoffelsymbol (C.106), gebildet.

Notwendigerweise müssen nach erneutem Ableiten und Antisymmetrisieren in den Ableitungsindizes beide Seiten von (E.29) übereinstimmende Ergebnisse liefern

% latex2html id marker 90227
$\displaystyle -R_{klm}{}^n\xi_n \stackrel{(\ref{komkovabl})}{=} [D_k,D_l]\xi_m = D_k \omega_{lm} - D_l \omega_{km}\ .$ (13.29)

Summieren wir die zyklisch vertauschten Versionen dieser Gleichung, so verschwindet wegen der ersten Bianchi-Identität $ \mathop{\mathchoice {\makebox [0pt][l]{\,$\bigcirc$}\sum } {\parbox{0pt} {\mak...
... {\kern0.15ex\makebox[0pt][l]{$\,\textstyle \circ$}}\sum }}_{kml}R_{klm}{}^n= 0$ (C.110). Folglich verschwindet auch $ \mathop{\mathchoice {\makebox [0pt][l]{\,$\bigcirc$}\sum } {\parbox{0pt} {\mak...
...\kern0.15ex\makebox[0pt][l]{$\,\textstyle \circ$}}\sum }}_{klm} D_k \omega_{lm}$, und es gilt $ D_k \omega_{lm} + D_l \omega_{mk}=-D_m \omega_{kl}$ und

$\displaystyle D_m \omega_{kl}=R_{klm}{}^n\xi_n\ .$ (13.30)

Auch bei (E.31) müssen bei erneutem Differenzieren und Antisymmetrisieren in den Ableitungsindizes beiden Seiten dasselbe ergeben

$\displaystyle - R_{klm}{}^r \omega_{rn} - R_{kln}{}^r \omega_{mr} =[D_k,D_l]\om...
... = D_k \bigl (R_{mnl}{}^r \xi_r\bigr ) - D_l \bigl (R_{mnk}{}^r \xi_r\bigr )\ .$ (13.31)

Also erfüllt jedes Killingfeld $ \xi$ und seine ersten Ableitungen $ \omega$ das linear homogene, algebraische Gleichungssystem

$\displaystyle 0=\bigl ( D_k R_{mnl}{}^s - D_l R_{mnk}{}^s\bigr ) \xi_s +\bigl (...
...delta_m^s + R_{mnl}{}^s\delta_k^r - R_{mnk}{}^s\delta_l^r \bigr )\omega_{rs}\ .$ (13.32)



Unterabschnitte


Nächste Seite: Maximal symmetrische Räume Aufwärts: Konforme Abbildungen Vorherige Seite: Konform flache Metrik   Inhalt   Index
FAQ Homepage