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Maximal symmetrische Räume

Wenn das Gleichungssystem (E.33) den Rang Null hat, wenn also alle Koeffizienten bei $ \xi_s$ und bei $ \omega_{rs}$ verschwinden, dann existieren in einer genügend kleinen Umgebung nach dem Satz von Frobenius Lösungen des Gleichungssystems (E.29, E.31). Dabei kann man die Werte von $ \xi_s$ und $ \omega_{rs}=-\omega_{sr}$, dies sind in $ d$ Raumzeitdimensionen $ d + \frac{1}{2}d(d-1)$ Parameter, an einem Punkt frei wählen. Ist das Gleichungssystem (E.33) nicht identisch in $ \xi$ und $ \omega$ erfüllt, sind diese Parameter eingeschränkt und es gibt weniger als $ \frac{1}{2}d(d+1)$ linear unabhängige Killingfelder.

In einem maximal symmetrischen Raum gilt also $ D_k R_{mnl}{}^s - D_l R_{mnk}{}^s=0$ und

$\displaystyle R_{klm}{}^r\delta_n^s - R_{kln}{}^r\delta_m^s + R_{mnl}{}^s\delta_k^r - R_{mnk}{}^s\delta_l^r = 0\ .$ (13.33)

Summieren mit $ \delta^n_s$ ergibt

$\displaystyle (d-1)R_{klm}{}^r= R_{mk}\delta_l{}^r - R_{ml}\delta_k{}^r\ ,$ (13.34)

wobei $ R_{kl}=R_{knl}{}^n $ der Riccitensor ist, und, wenn wir mit $ g_{nr}$ multiplizieren,

$\displaystyle (d-1)R_{klmn}= R_{mk}g_{ln}-R_{ml}g_{kn}\ .$ (13.35)

Weil der Riemanntensor im zweiten Indexpaar antisymmetrisch (C.25) und der Riccitensor symmetrisch (C.112) ist, gilt

$\displaystyle R_{mk}g_{ln}-R_{ml}g_{kn}= - R_{nk}g_{lm}+R_{nl}g_{km}\ ,$ (13.36)

woraus durch Summieren mit $ g^{ln}$ folgt

$\displaystyle R_{kl}= \frac{1}{d}g_{kl} R\ ,\quad R= g^{kl}R_{kl}\ .$ (13.37)

Wegen $ D_k R_{mnl}{}^s - D_l R_{mnk}{}^s=0$ ist der Krümmungsskalar $ R$ in maximal symmetrischen Räumen konstant

$\displaystyle 0=d(d-1)\bigl ( D_k R_{mnls} - D_l R_{mnks}\bigr ) = \partial_k R \bigl ( g_{ml}g_{ns} - g_{nl}g_{ms}\bigr ) - k \leftrightarrow l\ .$ (13.38)

Also ist der Riemanntensor maximal symmetrischer Räume durch

$\displaystyle R_{klmn}= K \bigl ( g_{km}g_{ln} - g_{lm}g_{kn}\bigr )\ ,\quad K=\frac{1}{d(d-1)}R\ ,$ (13.39)

mit einer Konstanten $ K$ gegeben.




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