Liealgebra der Killingfelder

Die Menge der Killingfelder ist eine Liealgebra: sind $\xi_1^m\partial_m$ und $\xi_2^m\partial_m$ zwei Killingfelder, so hat ihr Kommutator $[\xi_2{}^m\partial_m,\xi_1{}^n\partial_n]=\xi_3{}^n\partial_n$ die Komponenten

$$\xi_3{}^n = \xi_2{}^m\partial_m \xi_1{}^n - \xi_2{}^m\partial_m \... ...m D_m \xi_1{}^n =\xi_2{}^m \omega_{1\, m}{}^n - \xi_1{}^m \omega_{2\, m}{}^n\ .$$ (13.40)

Insbesondere ist $\omega_{3\, mn}= D_m \xi_{3\,n}= - \omega_{3\, nm}$ und $\xi_3{}^m\partial_m$ folglich ein Killingfeld

$$\omega_{3\, mn}= \omega_{2\, m}{}^l\omega_{1\,ln} - \omega_{1\, m}{}^l\omega_{2\,ln} + \xi_2{}^l \xi_1{}^k(R_{lnmk}-R_{lmnk})\ .$$ (13.41)

Im maximal symmetrischen Raum (E.40) lautet diese Algebra in Vielbeinkomponenten $\xi^a = \xi^m e_m{}^a$, $\omega_{ab}=e_a{}^me_b{}^n\omega_{mn}$ und $\omega_a{}^b=\eta^{bc}\omega_{ac}$,

$$\xi_3{}^a=\xi_2{}^b \omega_{1\, b}{}^a - \xi_1{}^b \omega_{2\, b}... ...\, a}{}^c\omega_{2\,cb} + K (\xi_{2\, a}\xi_{1\, b}- \xi_{1\, a}\xi_{2\, b})\ .$$ (13.42)

Verwenden wir für $K\ne 0$ die Bezeichnungen $\omega_{a 0}=-\omega_{0 a }=\sqrt{\vert K\vert}\xi_a$, dann ist $K \xi_{2\, a}\xi_{1\, b}=\eta^{00}\omega_{2\,a0}\omega_{1\,0 b }$ mit $\eta^{00}=-$sign$(K)$, und die Liealgebra (E.43) ist, wie der Vergleich mit (B.14) zeigt, für $K>0$ die Liealgebra SO$(p,q+1)$ und für $K<0$ die Liealgebra SO$(p+1,q)$. Im flachen Raum, also für $K= 0$, ist (E.43) die Liealgebra der Poincaré-Gruppe, die aus Lorentztransformationen SO$(p,q)$ kombiniert mit Translationen besteht, und die wir ISO$(p,q)$, inhomogene, spezielle, orthogonale Gruppe, nennen.

In allen drei Fällen ist SO$(p,q)$ die Unteralgebra der Killingfelder $\xi_{\vert _{p}}=0$, die an einem Punkt $p$ verschwinden. Sie erzeugen die Stabilitätsgruppe dieses Punktes, genauer ihren mit der identischen Abbildung zusammenhängenden Teil.

Da die Killingfelder an jedem Punkt des maximal symmetrischen Raumes den Tangentialraum aufspannen, ist jeder maximal symmetrische Raum ein Orbit (B.23). Dies ist für $K= 0$ der Minkowski-Raum $\mathbb{R}^{p,q}=$ISO$(p,q)/$SO$(p,q)$ mit der flachen Metrik $g_{mn}=\eta_{mn}$. Für $K\ne 0$ ist er ein Quotient der universellen Überlagerung des Orbits SO$(p,q+1)/$SO$(p,q)$ oder SO$(p+1,q)/$SO$(p,q)$ und lokal isometrisch zur Fläche

$$z^M z^N \eta_{MN}= - K^{-1} \ ,\quad M,N = 1, 2, \dots, d+1\ ,$$ (13.43)

im $d+1$ dimensionalen flachen Raum ${\mathbb{R}}^{p,q+1}$ oder ${\mathbb{R}}^{p+1,q}$. Diese Fläche wird von Lorentztransformationen des einbettenden Raumes auf sich abgebildet. Sie bilden die maximale, $\frac{1}{2}d(d+1)$-dimensionale Isometriegruppe dieser Fläche. Insbesondere ist die Metrik eines $d$ dimensionalen, maximal symmetrischen Raumes festgelegt durch den Wert der Konstante $K$ und durch die Signatur $p-q$, also durch die Anzahl $p$ und $q=d-p$ von Vektoren einer orthogonalen Basis mit positivem und negativem Längenquadrat.

Quotienten der universellen Überlagerung werden zum Beispiel in [70,71] untersucht.