Zu Killingvektoren gehörige Erhaltungsgrößen

Zu jedem Killingvektor $\xi_m$ gehört bei frei fallenden Teilchen die Erhaltungsgröße

$${Q}_\xi=u^m\xi_m\ .$$ (13.44)

Es bezeichnet $u^m$ den normierten Tangentialvektor (6.7) an die Weltlinie des Teilchens, das die zur Wirkung (6.5) gehörige Euler-Lagrange-Gleichung (6.9)

$$-g_{mn}\bigl (\frac{d}{ds}u^n + \frac{dx^k}{ds} \Gamma_{kl}{}^n u^l\bigr )= -g_{mn}\frac{\delta}{\delta s}u^n = 0$$ (13.45)

erfüllt. Daß ${Q}_\xi$ sich längs der Weltlinie nicht ändert, bestätigt man elementar durch kovariante Differentation $\frac{\delta}{\delta s}=\frac{dx^n}{ds}D_n$ längs der Weltlinie

$$\frac{\delta}{\delta s}\bigl (u^m\xi_m\bigr )= \frac{\delta u^m}{\delta s}\xi_m + u^m \frac{dx^n}{ds} D_n \xi_m\ .$$ (13.46)

Der erste Term verschwindet aufgrund der Euler-Lagrange-Gleichung und der zweite aufgrund der Killinggleichung (E.29), denn die Doppelsumme mit $u^m \frac{dx^n}{ds}\propto u^m u^n$ symmetrisiert in den Summationsindizes (5.19).

Ein Killingtensor ist nach Definition total symmetrisch und seine total symmetrisierte, kovariante Ableitung verschwindet. Mit der Schreibweise (A.30), daß runde Klammern um Indizes vollständige Symmetrisierung bezeichnen, erfüllt ein Killingtensor

$$\xi_{m_1m_2\dots m_n}=\xi_{(m_1m_2\dots m_n)}\ ,\quad D_{(m_0}\xi_{m_1m_2\dots m_n)}= 0\ .$$ (13.47)

Die gleiche Rechnung wie bei Killingvektoren zeigt, daß bei frei fallenden Teilchen zu jedem Killingtensor $\xi_{m_1m_2\dots m_n}$ die Erhaltungsgröße

$$Q_\xi = u^{m_1}u^{m_2}\dots u^{m_n}\xi_{m_1m_2\dots m_n}$$ (13.48)

gehört. Gemäß Noether-Theorem (4.51) gehört zu dieser Erhaltungsgröße bis auf einen Faktor $-m\,n\,c$ folgende infinitesimale Symmetrie der Wirkung (6.5)

$$\delta x^k = g^{km_1}u^{m_2}\dots u^{m_n} \xi_{m_1m_2\dots m_n}\ .$$ (13.49)

Jeder Killingvektor $\xi$ definiert zusammen mit der kovariant erhaltenen Energie-Impulstensordichte $\mathcal{T}^{mn}$ einen erhaltenen Strom $j^m = \mathcal{T}^{mn}\xi_n$ (7.7). Um mit Killingtensoren der Stufe $n$ einen erhaltenen Strom zu konstruieren, bräuchte man einen kovariant erhaltenen, total symmetrischen Tensor $T^{(m m_1m_2\dots m_{n})}$, $j^m = \sqrt{\mathrm{g}}\, T^{(m m_1 \dots m_n)}\xi_{(m_1\dots m_n)}$.