Uhren auf Meereshöhe

Uhren werden auf der Erdoberfläche durch die Erddrehung mitgeführt und gehen daher vergleichsweise langsamer als unbewegte Uhren. Die Drehung bewirkt aber auch eine Abplattung des Erdballs, aufgrund derer die schneller bewegte Uhr am Äquator weiter vom Erdmittelpunkt entfernt ist als die am Nordpol ruhende Uhr. Idealisieren wir die Meeresoberfläche als überall waagerecht, also als überall senkrecht zur Lotrechten, so bewirken die unterschiedliche Gravitation und die unterschiedliche Geschwindigkeit insgesamt, daß Uhren auf Meereshöhe synchron laufen.

Denn die Uhren auf Meereshöhe durchlaufen in der Schwarzschildmetrik (und in der Kerr-Metrik) mit festem $r$ und $\theta$ und konstanter Winkelgeschwindigkeit $\Omega= 2 \pi /$   Tag Weltlinien $x(t)$, die Integralkurven eines Killingfeldes $\xi$ sind,

$$x(t)= \begin{pmatrix}t\\ r(t)\\ \theta(t)\\ \varphi(t) \end{pmatr... ...atrix}\ ,\quad \dot{x}= \xi= \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\\ \Omega \end{pmatrix}\ .$$ (13.50)

In Koordinatenintervallen $t$ läuft auf den Uhren die Eigenzeit $\tau=\sqrt{\xi^2}\,t$ ab. Uhren auf einer Fläche $\mathcal{O}$, die aus Weltlinien $x(t)$ mit festem $\xi^2$ besteht, $\mathcal{O}=\{x:\xi^2(x)=$konst$\}$, laufen daher synchron.

Da $\xi^2$ auf der Fläche synchroner Uhren konstant ist, verschwindet $u^m\partial_m \xi^2$ für jeden Tangentialvektor $u$ an Kurven, die in $\mathcal{O}$ verlaufen. Zusammen mit der Killing-Gleichung $D_m \xi_n=-D_n \xi_m$ (C.109) folgt hieraus

$$0 = \frac{1}{2}u^m\partial_m \dot{x}^2 = u^m \dot{x}^n(D_m \dot{x}_n) = - u^m (\dot{x}^n D_n \dot{x}_m)\ ,$$ (13.51)

daß $u$ senkrecht auf der Beschleunigung $b^m\propto \dot{x}^n D_n \dot{x}^m$ steht, also waagerecht ist. Insbesondere ist $\dot{x}$ waagerecht, die Länge jedes Killingvektors ist längs seiner Integralkurve konstant.

Da alle Tangentialvektoren an die Fläche synchroner Uhren waagerecht sind, ist $\mathcal{O}$ waagerecht. Umgekehrt ist $\xi^2$ konstant auf waagerechten Flächen, die aus Integralkurven eines Killingfeldes bestehen. Auf Meereshöhe mit der Erddrehung mitgeführte Uhren laufen synchron.

Dies gilt nicht nur in einer nichtrelativistischen Näherung [43] sondern ohne Näherung in der Schwarzschildmetrik und in der Kerr-Metrik, die Killingvektorfelder $\xi=\partial_t + \Omega \partial_\varphi$ besitzen. In der Schwarzschildmetrik ist die Fläche synchroner Uhren, $\dot{x}^2=$konst, durch die Lösung $r(\theta$) von

$$\frac{r_0}{r} + r^2\,\Omega^2\, \sin^2\theta = \frac{r_0}{R}$$ (13.52)

gegeben. Dabei ist $R=r_{\vert _{\theta=0}}$ die halbe Länge der Erdachse, genauer der $r$-Wert am Nord- oder Südpol.