Konstruktion des Schiedsrichters

Um die Weltlinie des Schiedsrichters zwischen zwei Beobachtern $\mathcal{U}$ und $\mathcal{B}$ zu konstruieren, zeichnet man die Lichtstrahlen durch einen Punkt $\tau$ auf einer ihrer Weltlinie und

Abbildung 2.5: geometrisches Mittel

bestimmt ihre Schnittpunkte $T_+$ und $T_-$ mit der anderen Weltlinie. Auf ihr trägt man vom Schnittpunkt von $\mathcal{B}$ mit $\mathcal{U}$, dem Punkt $O$, das geometrische Mittel $\tau^\prime$ der Strecken $OT_+$ und $OT_-$ ab. Die Weltlinie des Schiedsrichters ist die Gerade durch die Schnittpunkte der Lichtstrahlen durch $\tau$ und $\tau^\prime$. Diese Gerade geht auch durch $O$, weil $\tau^\prime$ das geometrische Mittel der Längen $T_+$ und $T_-$ ist.

Das geometrische Mittel der Längen $T_-$ und $T_+$ bestimmt man mit Zirkel und Lineal in einer Hilfskonstruktion der Euklidischen Geometrie, indem man beide Strecken auf einer Geraden hintereinander abträgt und einen Kreis um den Mittelpunkt durch die Endpunkte schlägt. Sein Radius ist der Mittelwert $t=(T_++T_-)/2$; die Strecke $T_+$ ist um $r=(T_+-T_-)/2$ länger, $T_+=t+r$; $T_-$ ist um $r$ kürzer, $T_-=t-r$. Durch den Punkt, in dem die Strecke $T_+$ an $T_-$ grenzt, zeichnet man die Senkrechte zur Geraden bis zum Kreis. Sie ist eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks mit Hypothenuse $t$ und anderer Kathete $r$, hat also die Länge des geometrischen Mittels, ${\tau^\prime}^2=t^2-r^2=T_+T_-$.