Konforme Transformationen in zwei Dimensionen

Jede zweidimensionale Mannigfaltigkeit ist konform flach, ihre Metrik ist einer genügend kleinen Umgebung jedes Punktes in geeigneten Koordinaten, $x^{\prime\,1}= u$, $x^{\prime\,2}= v$, ein Vielfaches der flachen Metrik $\eta_{mn}$ mit derselben Signatur

$$g_{mn}(u,v) = \Omega^2(u,v)\,\eta_{mn}\ ,\quad \Omega^2 > 0\ .$$ (13.53)

Denn für die inverse Metrik gilt im $x^\prime$-Koordinatensystem^13.1

$$g^{\prime\, 12}= \frac{\partial u}{\partial x^k}\frac{\partial v}{\partial x^l}g^{kl}= 0\ ,$$ (13.54)

$$v$$

$$g^{\prime\, 11}= \frac{\partial u}{\partial x^k}\frac{\partial u}... ...rime\, 22}\ ,\partial_k u = \varepsilon_{km}\sqrt{\mathrm{g}}g^{mn}\partial_n v$$ (13.55)

den Gradienten von $u$ definiert. Hierbei ist $\varepsilon_{kl}= -\varepsilon_{lk}$, $\varepsilon_{12}=-1$ (B.64), und $g$ bezeichnet den Betrag der Determinante der Metrik $g= \vert g_{11}g_{22}-g_{12}g_{21}\vert$. Die Gleichung (E.55) gilt wegen $\varepsilon_{km}=-\varepsilon_{mk}$. Beim Bestätigen von (E.56) verwendet man die Definition der Determinante (H.6) $\varepsilon_{kl}g^{km}g^{ln}=\varepsilon_{mn}\det g^{\, ..}=\pm\varepsilon_{mn}g^{-1}$ und $\varepsilon_{mr}\varepsilon_{ms}=-\delta_{rs}$.

Nach Poincaré-Lemma (A.61) ist (E.57) ist genau dann integrabel, wenn

$$( \varepsilon_{km}\partial_l - \varepsilon_{lm}\partial_k)\sqrt{\mathrm{g}}g^{mn}\partial_n v$$ (13.56)

verschwindet. Da dieser Ausdruck in $k$ und $l$ antisymmetrisch ist und $k$ und $l$ nur zwei Werte annehmen können, ist er proportional zu $\varepsilon_{kl}$ (B.71), $\varepsilon_{km}\partial_l-\varepsilon_{lm}\partial_k=\varepsilon_{kl}\partial_m$. Demnach ist (E.57) integrabel, wenn $v$ der Laplacegleichung oder Wellengleichung

$$\partial_m \bigl (\sqrt{\mathrm{g}}g^{mn}\partial_n v\bigr ) = 0$$ (13.57)

genügt. Die Laplacegleichung hat bekanntermaßen [36] in einer genügend kleinen Umgebung jedes Punktes Lösungen mit nichtverschwindendem Gradienten, ebenso hat die Wellengleichung Lösungen mit zeitartigem Gradienten.

Da jede zweidimensionale Metrik konform flach ist, können wir uns bei der Untersuchung konformer Transformationen in der Umgebung eines Punktes ohne Einschränkung der Allgemeinheit auf konforme Transformationen der Metrik $\eta_{mn}$ beschränken. Dort lautet die konforme Killinggleichung (E.27) für $\xi_n=\eta_{nk}\xi^k$

$$\partial_m\xi_n+\partial_n\xi_m-2\epsilon\, \eta_{mn}=0\ .$$ (13.58)

Multiplizieren wir mit $\ \eta^{mn}$, so ergibt sich wegen $d=\eta^{mn}\eta_{nm}=2$

$$\epsilon =\frac{1}{2}\partial_k \xi^k\ ,\partial_m\xi_n+ \partial_n\xi_m-\partial_k\xi^k\eta_{mn}=0\ ,$$ (13.59)

$$\partial_1\xi_2+\partial_2\xi_1=0\ ,\qquad \partial_1\xi_1-\eta_{11}\eta_{22}\,\partial_2\xi_2=0\ .$$ (13.60)

$${\det }\eta=\eta_{11}\eta_{22}=-1$$

$$(\partial_1-\partial_2)(\xi_1-\xi_2)=0\ ,\quad (\partial_1+\partial_2)(\xi_1+\xi_2)=0$$ (13.61)
mit der allgemeinen Lösung

$$\xi_1=f(x^1-x^2)+g(x^1+x^2)\ ,\quad \xi_2=f(x^1-x^2)-g(x^1+x^2)\ ,$$ (13.62)

$$\xi=\xi^m\,\partial_m=f(x^1-x^2)\,(\partial_1-\partial_2) + g(x^1+x^2)\,(\partial_1+\partial_2)$$ (13.63)

$$f(x) g(x) d=2$$

$$T_{F,G}:(x^1-x^2,x^1+x^2)\mapsto (F(x^1-x^2),G(x^1+x^2))$$ (13.64)

mit Funktionen $F$ und $G$. Sie sind genau dann invertierbare Transformationen von ${\mathbb{R}}^{1,1}$, wenn sie strikt monoton sind und ${\mathbb{R}}$ invertierbar auf sich abbilden.

Durch die konforme Abbildung $T_{F,G}$ mit $F(x)=G(x) = (2/\pi) \arctan(x)$ wird der zweidimensionale Minkowskiraum $\mathcal{M}={\mathbb{R}}^{1,1}$ invertierbar auf das Penrose-Diagramm $\mathcal{N}=\{(x^1,x^2):-1<(x^1-x^2)<1,\ -1<(x^1+x^2)<1\}$ abgebildet, in dem Lichtstrahlen wie im flachen Raum verlaufen.

Für $\eta_{11}\eta_{22}=+1$ sind die Gleichungen (E.63) die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen für Real- und Imaginärteil einer komplex differenzierbaren Funktion

$$f(z)=\xi_1(x^1,x^2)+\mathrm{i}\, \xi_2(x^1,x^2)\, , \quad z=x^1+\mathrm{i}\, x^2\, ,\quad\partial_{\overline{z}} f(z)=0\ .$$ (13.65)

Zu jeder komplex differenzierbaren Funktion $f(z)$ gehört ein konformes Killingfeld.

Schreiben wir Funktionen von $x^1$ und $x^2$ als Funktionen $g(z,\overline{z})$, so wirkt wegen $\partial_{1} g(z,\overline{z}) = (\partial_z + \partial_{\overline{z}})g$ und $\partial_{2} g(z,\overline{z}) = \mathrm{i}\, (\partial_z - \partial_{\overline{z}})g$ das konforme Killingfeld $\xi_1 \,\partial_{1}+\xi_2\, \partial_{2}$ als Differentialoperator

$$\xi=\xi^m\partial_m=f(z)\,\partial_z + \overline{f}(\overline{z})\,\partial_{\overline{z}}\ .$$ (13.66)

Als Basis für Vektorfelder mit polynomialen Koeffizientenfunktionen kann man zum Beispiel die Vektorfelder

$$L_n = - z^{n+1}\partial_z\ ,\quad \overline{L}_n = - \overline{z}^{n+1}\partial_{\overline{z}}\ ,\quad n=-1,0,1,2,\dots$$ (13.67)

mit zueinander konjugiert komplexen Koeffizienten wählen. Sie erfüllen die Witt-Algebra

$$[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}\ ,\quad [\overline{L}_m,\overline{L}_n]=(m-n)\overline{L}_{m+n}\ ,\quad [L_n,\overline{L}_m]=0\ .$$ (13.68)

Insbesondere spannen die Vektorfelder $\frac{1}{2}(L_{-1}+L_{1}+\overline{L}_{-1}+\overline{L}_{1})$, $\frac{\mathrm{i}}{2}(L_{-1} -L_{1}-\overline{L}_{-1}+\overline{L}_{1})$ und $\mathrm{i}(L_0-\overline{L}_0)$ die dreidimensionale, reelle Liealgebra (D.19) der Drehungen $\mathrm{SO}(3)$ auf. Davon verschwindet $\mathrm{i}(L_0-\overline{L}_0)$ bei $z=0$ und erzeugt die Stabilitätsgruppe $\mathrm{SO}(2)$.

Es können nicht zu allen diesen konformen Killingfeldern endliche, konforme Transformationen, also holomorphe Selbstabbildungen mit nirgends verschwindender Ableitung, gehören. Wenn die zur Drehgruppe $\mathrm{SO}(3)$ gehörigen Vektorfelder zu endlichen Transformationen gehören, so ist der Orbit $S^2=\mathrm{SO}(3)/\mathrm{SO}(2)$ (B.24) die Mannigfaltigkeit, auf die sie wirken. Auf $S^2={\mathbb{C}}\cup \{\infty\}$ sind konforme Killingfelder von der Form $f(z)\partial_z+ \overline{f}(\overline{z})\partial_{\overline{z}}$ mit holomorphen Koeffizientenfunktionen, für die zudem $z^{-2}f(z)\rightarrow 0$ für $z\rightarrow \infty$ gilt, damit sie als Vektorfeld im Koordinatensystem $z^\prime={1}/{z}$ bei $z^\prime=0$ wohldefiniert sind. Dies sind reelle Linearkombinationen von $L_{-1}+\overline{L}_{-1}$, $L_{0}+\overline{L}_0$, $L_{1}+\overline{L}_{1}$, $\mathrm{i}(L_{-1}-\overline{L}_{-1})$, $\mathrm{i}(L_{0}-\overline{L}_0)$ und $\mathrm{i}(L_{1}-\overline{L}_{-1})$, die die Liealgebra von $\mathrm{SO}(1,3)$ aufspannen. Sie erzeugen die konforme Gruppe von $S^2$, die aus den Möbiustransformationen (D.81) der komplexen Zahlenkugel $S^2={\mathbb{C}}\cup \{\infty\}$ besteht.