Konforme Killinggleichung

Wir untersuchen, welche Räume und Metriken in mehr als zwei Dimensionen eine maximale Zahl von konformen Killingfeldern zulassen. Schreiben wir die Lieableitung der Metrik mit der Levi-Civita-Konnektion als symmetrisierte, kovariante Ableitung von $\xi_m$ (C.109), so lautet mit den Bezeichnungen

$$\omega_{kl}= \frac{1}{2}(D_k\xi_l - D_l \xi_k)\ ,\quad \omega_{kl}= - \omega_{lk}\ ,\quad \epsilon = \frac{1}{d}D_r \xi^r\ ,$$ (13.69)

die konforme Killinggleichung (E.27)

$$D_k \xi_n = \omega_{kn}+ \epsilon g_{kn}\ .$$ (13.70)

Notwendigerweise müssen beide Seiten bei erneutem Ableiten und Antisymmetrisieren der Ableitungsindizes übereinstimmen

$$- R_{kln}{}^m\xi_m \stackrel{\ref{k... ... = D_k \omega_{ln} - D_l \omega_{kn} + g_{ln}D_k \epsilon-g_{kn}D_l \epsilon\ .$$ (13.71)

Diese Gleichung legt die Ableitung von $\omega_{mn}$ als Funktion von $\xi$ und der Ableitung von $\epsilon$, $b_k =D_k \epsilon$, fest. Denn die zyklische Summe $\mathop{\mathchoice {\makebox [0pt][l]{\,$\bigcirc$}\sum } {\parbox{0pt} {\mak... ...pt} {\kern0.15ex\makebox[0pt][l]{$\,\textstyle \circ$}}\sum }}_{kln}R_{kln}{}^m$ verschwindet wegen der ersten Bianchi-Identität (C.110). Zudem verschwindet wegen $g_{mn}=g_{nm}$ die zyklische Summe $\mathop{\mathchoice {\makebox [0pt][l]{\,$\bigcirc$}\sum } {\parbox{0pt} {\mak... ...][l]{$\,\textstyle \circ$}}\sum }}_{kln}(g_{ln}D_k \epsilon-g_{kn}D_l \epsilon)$, es ist also $\mathop{\mathchoice {\makebox [0pt][l]{\,$\bigcirc$}\sum } {\parbox{0pt} {\mak... ...kern0.15ex\makebox[0pt][l]{$\,\textstyle \circ$}}\sum }}_{kln}D_k \omega_{ln}=0$ oder $D_k \omega_{ln} - D_l \omega_{kn}=-D_n \omega_{kl}$

$$D_{k}\omega_{mn} = R_{mnkl}\xi^l-g_{km}b_n + g_{kn}b_m\ ,$$ (13.72)

$$D_k \epsilon = b_k\ .$$ (13.73)

Auch hier ist notwendig, daß bei erneutem Differenzieren und Antisymmetrisieren in den Ableitungsindizes beide Seiten übereinstimmen

$$% latex2html id marker 90818 \begin{aligned}&-R_{klm}{}^r\omeg... ... + g_{ln}D_k b_m + g_{km}D_l b_n - g_{kn}D_l b_m\ . \end{aligned}$$

Die Gleichung $D_k \epsilon = b_k$ erfordert $D_k b_l-D_l b_k=0$, also ist $D_k b_l$ symmetrisch unter Vertauschung der Indizes.

Kontrahieren wir (E.77) mit $g^{lm}$ und $g^{kn}$, so folgt

$$g^{kl}D_k b_l = \frac{1}{d-1}D^s(R_{sr}\xi^r) \ .$$ (13.75)

In die einmal mit $g^{lm}$ kontrahierte Gleichung (E.77) eingesetzt, ergibt sich für $d>2$ die kovariante Ableitung von $b_n$

$$D_k b_n = \frac{1}{d-2}\bigl ( D_k(R_{nr}\xi^r)- D^s(R_{snkr}\xi^... ...}^r\omega_{rn}-R_{rkns}\omega^{rs}-\frac{1}{d-1}g_{kn} D^s(R_{sr}\xi^r) \bigr )$$ (13.76)

Werten wir die kovarianten Ableitungen mit (E.73) aus und berücksichtigen wir (E.23) sowie $(R_{rnks}+R_{rkns})\omega^{rs}=0$ wegen der Antisymmetrie von $\omega^{rs}$ und den Permutationssymmetrien von $R_{rkns}$, so ist $D_k b_n$ symmetrisch in $k$ und $n$ und mit der Notation $r_{kn}=R_{kn}-\frac{1}{2(d-1)}g_{kn}R$ (E.20) von der Form

$$D_k b_n = \frac{1}{d-2}\bigl ( \xi^r D_r r_{kn} + 2 \epsilon\, r_{kn} + r_{nr}\omega_k{}^r + r_{kr}\omega_n{}^r\bigr )\ .$$ (13.77)

Damit ist (E.77) noch nicht erfüllt. Setzen wir dort (E.80) ein, so erhalten wir ein lineares, algebraisches Gleichungssystem für $\xi_k$, $\epsilon$ und $\omega_{kl}$. Dabei sind die Koeffizienten bei $\epsilon$ bis auf einen Faktor $-2$ die Komponenten des Weyltensors $W_{mnkl}$ (E.11), des spurfreien Teils des Riemanntensors. Nur wenn das lineare Gleichungssystem den Rang 0 hat, wenn also alle Koeffizienten bei $\xi_k$, $\epsilon$ und $\omega_{kl}$ verschwinden, hat der Raum die maximal mögliche Zahl von konformen Killingfeldern. Insbesondere verschwindet also bei einem maximal konform symmetrischen Raum der Weyltensor. Dann verschwinden auch die Koeffizienten bei $\xi_k$ und bei $\omega_{kl}$ und (E.77) ist erfüllt.

Die Gleichung (E.80) erfordert, daß nach weiterem Ableiten und Antisymmetrisieren in den Ableitungsindizes beide Seiten übereinstimmen. Wenn wir in

$$- R_{kln}{}^r b_r = [D_k,D_l]b_n = D_k (D_l b_n) - D_l (D_k b_n)$$ (13.78)

auf der rechten Seite (E.80, E.73, E.75, E.76) einsetzen, erhalten wir ein lineares Gleichungssystem für $\xi_k$, $\epsilon$, $\omega_{kl}$ und $b_k$. Beispielsweise tritt $\epsilon$ mit den Koeffizienten $\frac{3d}{d-2}R_{kl\,n}$ auf, wobei $R_{kl\,n}$ der Cottontensor (E.18) ist. Nur wenn der Weyltensor $W_{mnkl}$ und der Cottontensor verschwinden, ist der Raum maximal konform symmetrisch.

Auch die Koeffizienten des linearen Gleichungssystems bei $\xi_k$, $\omega_{kl}$ und $b_k$ verschwinden, wenn der Weyltensor und der Cottontensor verschwinden.

Jeder maximal konform symmetrische Raum ist also konform flach. Umgekehrt erfüllt jeder konform flache Raum die notwendigen Bedingungen für die Existenz einer maximalen Anzahl konformer Killingfelder. Der Satz von Frobenius besagt, daß dann das Gleichungssystem (E.73, E.75, E.76, E.80) zumindest in einer genügend kleinen Umgebung eine Lösung hat, die durch die an einem Punkt frei wählbaren Werte von $\xi_m,\omega_{mn},\epsilon,b_m$ festgelegt ist. Dies sind $(d+2)(d+1)/2$ Werte.

Auf welchen Mannigfaltigkeiten $\mathcal{M}$ die konformen Killingfelder und die dazu gehörigen konformen Transformationen mit nullstellenfreiem konformen Faktor existieren, zeigt die Untersuchung der Liealgebra der konformen Killingfelder.