Liealgebra der konformen Killingfelder

Die Menge der konformen Killingfelder ist eine Liealgebra: sind $\xi_1^m\partial_m$ und $\xi_2^m\partial_m$ zwei konforme Killingfelder, so hat ihr Kommutator $[\xi_2{}^m\partial_m,\xi_1{}^n\partial_n]=\xi_3{}^n\partial_n$ wegen (E.73) die Komponenten

$$\xi_3{}^n = \xi_2{}^m D_m \xi_1{}^n - \xi_1{}^m D_m \xi_2{}^n = \... ...{}^n - \xi_1{}^m \omega_{2\, m}{}^n+ \xi_{2}^n\epsilon_1-\xi_{1}^n\epsilon_2\ .$$ (13.79)

Insbesondere ist $D_m \xi_{3\,n}$ wegen (E.75, E.76) von der Form $\omega_{3\, mn}+\epsilon_3g_{mn}$ und $\xi_3{}^m\partial_m$ ist folglich ein konformes Killingfeld

$$\begin{aligned}\omega_{3\, mn}&= \omega_{2\, m}{}^l\omega_{1\,l... ... ,\\ \epsilon_3&=\xi_2\cdot b_1 - \xi_1\cdot b_2\ . \end{aligned}$$

Der maximal konform symmetrische Raum ist konform flach. Wir können daher die maximale konforme Liealgebra im flachen Raum ablesen. Dort vereinfachen sich die Gleichungen (E.73, E.75, E.76, E.80)

$$\begin{aligned}\partial_m \xi_n &=\omega_{mn}+\epsilon \eta_{mn... ...\\ \partial_m\epsilon &=b_m\ , & \partial_m b_n&= 0 \end{aligned}$$

und können mit Konstanten $b_m$, $a$, $\Omega_{mn}=-\Omega_{nm}$ und $t^m$ integriert werden

$$\begin{aligned}b_m(x)&=b_m\ ,\\ \epsilon(x)&=x\cdot b + a\ ,\\ ... ...a^m{}_l\, x^l+ax^m-2b\cdot x\, x^m+b^m\,x\cdot x\ . \end{aligned}$$

Das konforme Killingfeld $\xi^m(x)$ setzt sich zusammen aus infinitesimalen Translationen mit $d$ Parametern $t^m$, Lorentztransformationen mit $\frac{d(d-1)}{2}$ Parametern $\Omega_{mn}=-\Omega_{nm}$, einer Dilatation mit einem Parameter $a$ und aus eigentlich konformen Transformationen mit $d$ Parametern $b^m$. Folglich bilden die konformen Killingfelder des flachen Raumes einen Vektorraum der Dimension $\frac{(d+2)(d+1)}{2}$, genauso wie die Liealgebra infinitesimaler Lorentztransformationen in $d+2$ Dimensionen.

Diese Übereinstimmung der Dimension ist nicht zufällig. Die konformen Killingfelder $\xi= \xi^m\partial_m$ in ${\mathbb{R}}^{p,q}$ bilden die Liealgebra der Lorentzgruppe SO$(p+1,q+1)$ in einer Raumzeit mit einer zeitartigen und einer raumartigen Dimension mehr.

Denn jedes $\xi$ ist eine Linearkombination

$$\xi= \frac{1}{2}\Omega^{ab}l_{ab}= \Omega^{0s}l_{0s}{}+\frac{1}{2} \Omega^{rs}l_{rs}+ \Omega^{sN}l_{sN}+ \Omega^{0N}l_{0N}\ ,$$ (13.83)

wobei die Indizes $a$ und $b$ die Werte von 0 bis $N=p+q+1$ und die Indizes $r$ und $s$ die Werte $1$ bis $p+q$ durchlaufen, von Basisvektorfeldern $l_{ab}=-l_{ba}$

$$\begin{aligned}l_{rs}{} &= x_r \partial_s - x_s \partial_r\ ,\q... ...r\partial_r\ ,\quad & l_{0N}{} &= -x^r\partial_r\ . \end{aligned}$$

Man rechnet einfach nach, daß diese Vektorfelder der Liealgebra infinitesimaler Lorentztransformationen (B.17) mit $\eta_{00}=1$ und $\eta_{NN}= -1$ genügen.

Man kann die Liealgebra auch durch weitere Differentation, $b_{3\,m}=\partial_m \epsilon_3$, aus (E.83) im flachen Raum $R_{klmn}=0$ mit Hilfe von (E.84) bestimmen

$$\begin{aligned}\xi_3{}^n &= \xi_2{}^m \omega_{1\, m}{}^n - \xi_... ..._{2\,m}{}^n -b_2{}^n\epsilon_1+b_1{}^n\epsilon_2\ . \end{aligned}$$

Dies ist mit den Definitionen $\omega_{0m}= - \omega_{m0}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\xi_m+b_m)$, $\omega_{mN}=-\omega_{Nm}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\xi_m-b_m)$ und $\omega_{0N}=-\omega_{N0}=-\epsilon$ die Liealgebra (B.14) von SO$(p+1,q+1)$

$$\omega_{3\, ab}= \omega_{2\, a}{}^c\omega_{1\,cb} - \omega_{1\, a}{}^c\omega_{2\,cb}\ ,$$ (13.86)

wobei $a$, $b$ und $c$ die Werte $0,1,\dots N=p+q+1$ durchlaufen und $\eta^{00}=-\eta^{NN}=1$ ist.

Die Stabilitätsgruppe eines Punktes $p$, genauer ihr mit der Identität zusammenhängender Teil, wird von den konformen Killingfeldern erzeugt, die bei $p$ verschwinden $\xi^m_{\vert _p}=0$. Dort liest man die zugehörige Unterliealgebra von (E.88) ab

$$\begin{aligned}\omega_{3\, mn\,{\vert _p}}&= \omega_{2\, m}{}^l... ..._{2\,m}{}^n -b_2{}^n\epsilon_1+b_1{}^n\epsilon_2\ . \end{aligned}$$

Bis auf die Umbenennung $b^n\rightarrow \xi^n$ und $\epsilon\rightarrow -\epsilon$ ist dies dieselbe Algebra, wie sie ohne eigentliche konforme Transformationen für $b^n=0$ zu Translationen $t^n$, Lorentztransformationen $\omega_{mn}$ und Dilatationen $\epsilon$ gehört. Der zusammenhängende Teil der Fixpunktgruppe ist daher der Weylgruppe W$(p,q)$ (E.97) ähnlich, die von Translationen, Lorentztransformationen SO$(p,q)$ und Dilatationen erzeugt wird.

Die maximale Gruppe konformer Transformationen wirkt daher auf einer Mannigfaltigkeit, die ein Quotient der Überlagerung von SO$(p+1,q+1)$/W$(p,q)$ ist.