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Liealgebra der konformen Killingfelder

Die Menge der konformen Killingfelder ist eine Liealgebra: sind $ \xi_1^m\partial_m$ und $ \xi_2^m\partial_m$ zwei konforme Killingfelder, so hat ihr Kommutator $ [\xi_2{}^m\partial_m,\xi_1{}^n\partial_n]=\xi_3{}^n\partial_n$ wegen (E.73) die Komponenten

$\displaystyle \xi_3{}^n = \xi_2{}^m D_m \xi_1{}^n - \xi_1{}^m D_m \xi_2{}^n = \...
...{}^n - \xi_1{}^m \omega_{2\, m}{}^n+ \xi_{2}^n\epsilon_1-\xi_{1}^n\epsilon_2\ .$ (13.79)

Insbesondere ist $ D_m \xi_{3\,n}$ wegen (E.75, E.76) von der Form $ \omega_{3\, mn}+\epsilon_3g_{mn}$ und $ \xi_3{}^m\partial_m$ ist folglich ein konformes Killingfeld

\begin{equation*}\begin{aligned}\omega_{3\, mn}&= \omega_{2\, m}{}^l\omega_{1\,l...
... ,\\ \epsilon_3&=\xi_2\cdot b_1 - \xi_1\cdot b_2\ . \end{aligned}\end{equation*}

Der maximal konform symmetrische Raum ist konform flach. Wir können daher die maximale konforme Liealgebra im flachen Raum ablesen. Dort vereinfachen sich die Gleichungen (E.73, E.75, E.76, E.80)

\begin{equation*}\begin{aligned}\partial_m \xi_n &=\omega_{mn}+\epsilon \eta_{mn...
...\\ \partial_m\epsilon &=b_m\ , & \partial_m b_n&= 0 \end{aligned}\end{equation*}

und können mit Konstanten $ b_m$, $ a$, $ \Omega_{mn}=-\Omega_{nm}$ und $ t^m$ integriert werden

\begin{equation*}\begin{aligned}b_m(x)&=b_m\ ,\\ \epsilon(x)&=x\cdot b + a\ ,\\ ...
...a^m{}_l\, x^l+ax^m-2b\cdot x\, x^m+b^m\,x\cdot x\ . \end{aligned}\end{equation*}

Das konforme Killingfeld $ \xi^m(x)$ setzt sich zusammen aus infinitesimalen Translationen mit $ d$ Parametern $ t^m$, Lorentztransformationen mit $ \frac{d(d-1)}{2}$ Parametern $ \Omega_{mn}=-\Omega_{nm}$, einer Dilatation mit einem Parameter $ a$ und aus eigentlich konformen Transformationen mit $ d$ Parametern $ b^m$. Folglich bilden die konformen Killingfelder des flachen Raumes einen Vektorraum der Dimension $ \frac{(d+2)(d+1)}{2}$, genauso wie die Liealgebra infinitesimaler Lorentztransformationen in $ d+2$ Dimensionen.

Diese Übereinstimmung der Dimension ist nicht zufällig. Die konformen Killingfelder $ \xi= \xi^m\partial_m$ in $ {\mathbb{R}}^{p,q}$ bilden die Liealgebra der Lorentzgruppe SO$ (p+1,q+1)$ in einer Raumzeit mit einer zeitartigen und einer raumartigen Dimension mehr.

Denn jedes $ \xi$ ist eine Linearkombination

$\displaystyle \xi= \frac{1}{2}\Omega^{ab}l_{ab}= \Omega^{0s}l_{0s}{}+\frac{1}{2} \Omega^{rs}l_{rs}+ \Omega^{sN}l_{sN}+ \Omega^{0N}l_{0N}\ ,$ (13.83)

wobei die Indizes $ a$ und $ b$ die Werte von 0 bis $ N=p+q+1$ und die Indizes $ r$ und $ s$ die Werte $ 1$ bis $ p+q$ durchlaufen, von Basisvektorfeldern $ l_{ab}=-l_{ba}$

\begin{equation*}\begin{aligned}l_{rs}{} &= x_r \partial_s - x_s \partial_r\ ,\q...
...r\partial_r\ ,\quad & l_{0N}{} &= -x^r\partial_r\ . \end{aligned}\end{equation*}

Man rechnet einfach nach, daß diese Vektorfelder der Liealgebra infinitesimaler Lorentztransformationen (B.17) mit $ \eta_{00}=1$ und $ \eta_{NN}= -1$ genügen.

Man kann die Liealgebra auch durch weitere Differentation, $ b_{3\,m}=\partial_m \epsilon_3$, aus (E.83) im flachen Raum $ R_{klmn}=0$ mit Hilfe von (E.84) bestimmen

\begin{equation*}\begin{aligned}\xi_3{}^n &= \xi_2{}^m \omega_{1\, m}{}^n - \xi_...
..._{2\,m}{}^n -b_2{}^n\epsilon_1+b_1{}^n\epsilon_2\ . \end{aligned}\end{equation*}

Dies ist mit den Definitionen $ \omega_{0m}= - \omega_{m0}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\xi_m+b_m)$, $ \omega_{mN}=-\omega_{Nm}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\xi_m-b_m)$ und $ \omega_{0N}=-\omega_{N0}=-\epsilon$ die Liealgebra (B.14) von SO$ (p+1,q+1)$

$\displaystyle \omega_{3\, ab}= \omega_{2\, a}{}^c\omega_{1\,cb} - \omega_{1\, a}{}^c\omega_{2\,cb}\ ,$ (13.86)

wobei $ a$, $ b$ und $ c$ die Werte $ 0,1,\dots N=p+q+1$ durchlaufen und $ \eta^{00}=-\eta^{NN}=1$ ist.

Die Stabilitätsgruppe eines Punktes $ p$, genauer ihr mit der Identität zusammenhängender Teil, wird von den konformen Killingfeldern erzeugt, die bei $ p$ verschwinden $ \xi^m_{\vert _p}=0$. Dort liest man die zugehörige Unterliealgebra von (E.88) ab

\begin{equation*}\begin{aligned}\omega_{3\, mn\,{\vert _p}}&= \omega_{2\, m}{}^l...
..._{2\,m}{}^n -b_2{}^n\epsilon_1+b_1{}^n\epsilon_2\ . \end{aligned}\end{equation*}

Bis auf die Umbenennung $ b^n\rightarrow \xi^n$ und $ \epsilon\rightarrow -\epsilon$ ist dies dieselbe Algebra, wie sie ohne eigentliche konforme Transformationen für $ b^n=0$ zu Translationen $ t^n$, Lorentztransformationen $ \omega_{mn}$ und Dilatationen $ \epsilon$ gehört. Der zusammenhängende Teil der Fixpunktgruppe ist daher der Weylgruppe W$ (p,q)$ (E.97) ähnlich, die von Translationen, Lorentztransformationen SO$ (p,q)$ und Dilatationen erzeugt wird.

Die maximale Gruppe konformer Transformationen wirkt daher auf einer Mannigfaltigkeit, die ein Quotient der Überlagerung von SO$ (p+1,q+1)$/W$ (p,q)$ ist.




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