Endliche Transformationen

Zu infinitesimalen Translationen $\xi^m=t^m$ gehören endliche Translationen, die durch die Lösungen $x^m(\alpha)=x^m(0)+\alpha t^m$ des Differentialgleichungssystems

$$\frac{dx^m}{d\alpha}=t^m$$ (13.88)

gegeben sind (A.97). Es reicht, die Transformation für $\alpha=1$ zu untersuchen, da jeder andere Wert von $\alpha$ in $\xi$ absorbiert werden kann. Mit der Notation $x{(1)}=x^\prime$ und $x(0)=x$ lautet die endliche Translation

$$x^{\prime\,m}=x^m+t^m\ .$$ (13.89)

Endliche Dilatationen gehören zum Differentialgleichungssystem

$$\frac{dx^m}{d\alpha}=a x^m$$ (13.90)

mit der Lösung $x(\alpha)=\mathrm{e}^{\alpha a}x(0)$ und lauten in der obigen Notation

$$x^{\prime\,m}=\mathrm{e}^ax^m\ .$$ (13.91)

Endliche Lorentztransformationen, die zu $\xi^m=\Omega^m{}_n x^n$ gehören, sind lineare Transformationen $x^\prime = \Lambda x$ mit Matrizen $\Lambda$, die das Längenquadrat in ${\mathbb{R}}^{p,q}$ invariant lassen. Die zur Lorentzgruppe gehörigen Matrizen $\Lambda$ erfüllen die Gleichungen (B.54)

$$\Lambda^m{}_k\Lambda^n{}_l\,\eta_{mn}=\eta_{kl}\ ,$$ (13.92)

die besagen, daß in den Spalten von $\Lambda$ die Komponenten von Vektoren stehen, die normiert und zueinander orthogonal sind, wobei ihre Skalarprodukte mit $\eta$ berechnet werden.

Die aus Translationen und Lorentztransformationen SO$(p,q)$ bestehenden Transformationen

$$T_{\Lambda,t}: x^m \mapsto \Lambda^m{}_n x^n + t^m$$ (13.93)

heißen Poincaré-Transformationen und bilden die Poincaré-Gruppe, die inhomogene, spezielle, orthogonale Gruppe ISO$(p,q)$. Die von Poincaré-Transformationen und Dilatationen erzeugten Weyltransformationen

$$T_{(\Lambda,\, \mathrm{e}^a\!,\, b)} :x \mapsto \mathrm{e}^a \Lambda x + b$$ (13.94)

bilden die Weylgruppe W$(p,q)$.

Für $d=2$ lassen sich die von $\xi^m=\Omega^m{}_n x^n$ erzeugten Lorentztransformationen SO$(1,1)$ und SO$(2)$ leicht angeben. Die Matrix $\Omega$ ist $\eta$ mal einer antisymmetrischen Matrix (B.13) und im ersten Fall durch $\Omega_{\text{Lorentz}}$ und im zweiten Fall durch $\Omega_{\text{Drehung}}$ gegeben

$$\Omega_{\text{Lorentz}}= \begin{pmatrix}0&\lambda\\ \lambda&0 \en... ...d \Omega_{\text{Drehung}}= \begin{pmatrix}0&-\theta\\ \theta&0 \end{pmatrix}\ .$$ (13.95)

Das zu SO$(1,1)$ gehörige Differentialgleichungssystem $\frac{dx}{d\alpha}=\Omega x$ wird durch

$$\begin{pmatrix}x^{0}(\alpha)\\ x^1(\alpha) \end{pmatrix} =\begin{... ...\cosh(\alpha\lambda) \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x^0(0)\\ x^1(0) \end{pmatrix}$$ (13.96)

gelöst^13.2. Die Lorentztransformation ist

$$\begin{pmatrix}x^{\prime\, 0}\\ x^{\prime\, 1} \end{pmatrix} = \b... ...h\lambda&\cosh{}\lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x^0\\ x^1 \end{pmatrix}\ .$$ (13.97)

Diese Transformation bildet die Weltlinie $\Gamma:s\mapsto x^m(s)=\delta^m_0\, s +x^m(0)$ eines ruhenden Teilchens auf die Weltlinie eines Teilchens ab, das sich mit Geschwindigkeit $\frac{v}{c}=\tanh{}\lambda$ in $x^1$-Richtung bewegt. Drückt man $\lambda$ durch $\frac{v}{c}$ aus, so lautet die Transformation

$$\begin{pmatrix}x^{\prime\, 0}\\ x^{\prime\, 1} \end{pmatrix} =\fr... ...c{v}{c}\\ \frac{v}{c}&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x^0\\ x^1 \end{pmatrix}\ .$$ (13.98)

Die Lösungen des zu Drehungen gehörigen Differentialgleichungssystems sind

$$\begin{pmatrix}x^1(\alpha)\\ x^2(\alpha) \end{pmatrix} =\begin{pm... ...cos(\alpha\theta) \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x^1(0)\\ x^2(0) \end{pmatrix}\ ,$$ (13.99)

und die endliche Drehung um den Winkel $\theta$ ist

$$\begin{pmatrix}x^{\prime\, 1}\\ x^{\prime\, 2} \end{pmatrix} =\be... ...a&\phantom{-}\cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x^1\\ x^2 \end{pmatrix}\ .$$ (13.100)

Zu $\xi^m=-2b\cdot x\, x^m+b^m\,x\cdot x$, den infinitesimalen, eigentlich konformen Transformationen, gehört das Differentialgleichungssystem

$$\frac{dx^m}{d\alpha}=(\delta^m{}_nx^2-2x^mx_n)b^n\ .$$ (13.101)

Wir lösen durch Multiplikation mit der inversen Matrix nach $b^m$ auf

$$\bigl (\frac{\delta^m{}_n x^2-2x^mx_n}{x^4}\bigr )\frac{dx^n}{d\alpha}=b^m$$ (13.102)

und bemerken, daß die linke Seite die Ableitung $\frac{d}{d\alpha}\frac{x^m}{x^2}$ ist. Daher können beide Seiten leicht über $\alpha$ integriert werden

$$\frac{x^m(\alpha)}{x^2(\alpha)}-\frac{x^m(0)}{x^2(0)}=\alpha b^m\ .$$ (13.103)

Eigentlich konforme Transformationen sind Translationen der am Einheitshyperboloid invertierten Punkte $\frac{x^m}{x^2}$.

Schreiben wir $x^{\prime\, m}$ für $x^m(1)$ und $x^m$ für $x^m(0)$ und lösen wir nach $\frac{x^{\prime\,m}}{x^\prime{}^2}$ auf

$$\frac{x^{\prime\,m}}{x^\prime{}^2}=\frac{x^m+b^mx^2}{x^2}$$ (13.104)

und bestimmen wir daraus $x^\prime{}^2$,

$$x^\prime{}^2=\frac{x^2}{(1+2 b\cdot x+b^2x^2)}\ ,$$ (13.105)

so erhalten wir

$$x^{\prime\, m}=\frac{x^m+b^mx^2}{1+2b\cdot x + b^2 x^2}\ .$$ (13.106)

Die eigentlich konforme Transformation (E.109) wird für $b^2\ne 0$ genau dann singulär, wenn $x$ auf dem Lichtkegel mit Ursprung bei $y=-\frac{b}{b^2}$ liegt, denn es gilt $(x-y)^2 = (x + b/b^2)^2 = 1/b^2(b^2 x^2 + 2 b\cdot x + 1)$. Für $b^2=0$ wird die Transformation auf der Ebene $b\cdot x=-1/2$ singulär.