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Endliche Transformationen

Zu infinitesimalen Translationen $ \xi^m=t^m$ gehören endliche Translationen, die durch die Lösungen $ x^m(\alpha)=x^m(0)+\alpha t^m$ des Differentialgleichungssystems

$\displaystyle \frac{dx^m}{d\alpha}=t^m$ (13.88)

gegeben sind (A.97). Es reicht, die Transformation für $ \alpha=1$ zu untersuchen, da jeder andere Wert von $ \alpha$ in $ \xi$ absorbiert werden kann. Mit der Notation $ x{(1)}=x^\prime$ und $ x(0)=x$ lautet die endliche Translation

$\displaystyle x^{\prime\,m}=x^m+t^m\ .$ (13.89)

Endliche Dilatationen gehören zum Differentialgleichungssystem

$\displaystyle \frac{dx^m}{d\alpha}=a x^m$ (13.90)

mit der Lösung $ x(\alpha)=\mathrm{e}^{\alpha a}x(0)$ und lauten in der obigen Notation

$\displaystyle x^{\prime\,m}=\mathrm{e}^ax^m\ .$ (13.91)

Endliche Lorentztransformationen, die zu $ \xi^m=\Omega^m{}_n x^n$ gehören, sind lineare Transformationen $ x^\prime = \Lambda x$ mit Matrizen $ \Lambda$, die das Längenquadrat in $ {\mathbb{R}}^{p,q}$ invariant lassen. Die zur Lorentzgruppe gehörigen Matrizen $ \Lambda$ erfüllen die Gleichungen (B.54)

$\displaystyle \Lambda^m{}_k\Lambda^n{}_l\,\eta_{mn}=\eta_{kl}\ ,$ (13.92)

die besagen, daß in den Spalten von $ \Lambda$ die Komponenten von Vektoren stehen, die normiert und zueinander orthogonal sind, wobei ihre Skalarprodukte mit $ \eta$ berechnet werden.

Die aus Translationen und Lorentztransformationen SO$ (p,q)$ bestehenden Transformationen

$\displaystyle T_{\Lambda,t}: x^m \mapsto \Lambda^m{}_n x^n + t^m$ (13.93)

heißen Poincaré-Transformationen und bilden die Poincaré-Gruppe, die inhomogene, spezielle, orthogonale Gruppe ISO$ (p,q)$. Die von Poincaré-Transformationen und Dilatationen erzeugten Weyltransformationen

$\displaystyle T_{(\Lambda,\, \mathrm{e}^a\!,\, b)} :x \mapsto \mathrm{e}^a \Lambda x + b$ (13.94)

bilden die Weylgruppe W$ (p,q)$.

Für $ d=2$ lassen sich die von $ \xi^m=\Omega^m{}_n x^n$ erzeugten Lorentztransformationen SO$ (1,1)$ und SO$ (2)$ leicht angeben. Die Matrix $ \Omega$ ist $ \eta$ mal einer antisymmetrischen Matrix (B.13) und im ersten Fall durch $ \Omega_{\text{Lorentz}}$ und im zweiten Fall durch $ \Omega_{\text{Drehung}}$ gegeben

$\displaystyle \Omega_{\text{Lorentz}}= \begin{pmatrix}0&\lambda\\ \lambda&0 \en...
...d \Omega_{\text{Drehung}}= \begin{pmatrix}0&-\theta\\ \theta&0 \end{pmatrix}\ .$ (13.95)

Das zu SO$ (1,1)$ gehörige Differentialgleichungssystem $ \frac{dx}{d\alpha}=\Omega x$ wird durch

$\displaystyle \begin{pmatrix}x^{0}(\alpha)\\ x^1(\alpha) \end{pmatrix} =\begin{...
...\cosh(\alpha\lambda) \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x^0(0)\\ x^1(0) \end{pmatrix}$ (13.96)

gelöst13.2. Die Lorentztransformation ist

$\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime\, 0}\\ x^{\prime\, 1} \end{pmatrix} = \b...
...h\lambda&\cosh{}\lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x^0\\ x^1 \end{pmatrix}\ .$ (13.97)

Diese Transformation bildet die Weltlinie $ \Gamma:s\mapsto x^m(s)=\delta^m_0\, s +x^m(0) $ eines ruhenden Teilchens auf die Weltlinie eines Teilchens ab, das sich mit Geschwindigkeit $ \frac{v}{c}=\tanh{}\lambda$ in $ x^1$-Richtung bewegt. Drückt man $ \lambda$ durch $ \frac{v}{c}$ aus, so lautet die Transformation

$\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime\, 0}\\ x^{\prime\, 1} \end{pmatrix} =\fr...
...c{v}{c}\\ \frac{v}{c}&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x^0\\ x^1 \end{pmatrix}\ .$ (13.98)

Die Lösungen des zu Drehungen gehörigen Differentialgleichungssystems sind

$\displaystyle \begin{pmatrix}x^1(\alpha)\\ x^2(\alpha) \end{pmatrix} =\begin{pm...
...cos(\alpha\theta) \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x^1(0)\\ x^2(0) \end{pmatrix}\ ,$ (13.99)

und die endliche Drehung um den Winkel $ \theta$ ist

$\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime\, 1}\\ x^{\prime\, 2} \end{pmatrix} =\be...
...a&\phantom{-}\cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x^1\\ x^2 \end{pmatrix}\ .$ (13.100)

Zu $ \xi^m=-2b\cdot x\, x^m+b^m\,x\cdot x$, den infinitesimalen, eigentlich konformen Transformationen, gehört das Differentialgleichungssystem

$\displaystyle \frac{dx^m}{d\alpha}=(\delta^m{}_nx^2-2x^mx_n)b^n\ .$ (13.101)

Wir lösen durch Multiplikation mit der inversen Matrix nach $ b^m$ auf

$\displaystyle \bigl (\frac{\delta^m{}_n x^2-2x^mx_n}{x^4}\bigr )\frac{dx^n}{d\alpha}=b^m$ (13.102)

und bemerken, daß die linke Seite die Ableitung $ \frac{d}{d\alpha}\frac{x^m}{x^2}$ ist. Daher können beide Seiten leicht über $ \alpha$ integriert werden

$\displaystyle \frac{x^m(\alpha)}{x^2(\alpha)}-\frac{x^m(0)}{x^2(0)}=\alpha b^m\ .$ (13.103)

Eigentlich konforme Transformationen sind Translationen der am Einheitshyperboloid invertierten Punkte $ \frac{x^m}{x^2}$.

Schreiben wir $ x^{\prime\, m}$ für $ x^m(1)$ und $ x^m$ für $ x^m(0)$ und lösen wir nach $ \frac{x^{\prime\,m}}{x^\prime{}^2}$ auf

$\displaystyle \frac{x^{\prime\,m}}{x^\prime{}^2}=\frac{x^m+b^mx^2}{x^2}$ (13.104)

und bestimmen wir daraus $ x^\prime{}^2$,

$\displaystyle x^\prime{}^2=\frac{x^2}{(1+2 b\cdot x+b^2x^2)}\ ,$ (13.105)

so erhalten wir

$\displaystyle x^{\prime\, m}=\frac{x^m+b^mx^2}{1+2b\cdot x + b^2 x^2}\ .$ (13.106)

Die eigentlich konforme Transformation (E.109) wird für $ b^2\ne 0$ genau dann singulär, wenn $ x$ auf dem Lichtkegel mit Ursprung bei $ y=-\frac{b}{b^2}$ liegt, denn es gilt $ (x-y)^2 = (x + b/b^2)^2 = 1/b^2(b^2 x^2 + 2 b\cdot x + 1) $. Für $ b^2=0$ wird die Transformation auf der Ebene $ b\cdot x=-1/2$ singulär.




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