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Maximal konforme Mannigfaltigkeit

Da die Transformationen (E.109) singulär sind, sind sie keine invertierbaren Selbstabbildungen des Raumes $ {\mathbb{R}}^{p,q}$. Vielmehr wirkt die maximale konforme Gruppe, wie die Untersuchung ihrer Liealgebra gezeigt hat, auf einem Quotienten von $ \mathcal{M}$, der Überlagerung von SO$ (p+1,q+1)$/W$ (p,q)$.

Um diese Mannigfaltigkeit $ \mathcal{M}$ zu identifizieren, betrachten wir Lichtstrahlen $ u$ in $ {\mathbb{R}}^{p+1,q+1}$, $ u^2=0$, $ u\ne 0$,

$\displaystyle \sum_{i=0}^{p}(u^i)^2 - \sum_{i=p+1}^{p+q+1}(u^i)^2 = 0\ .$ (13.107)

Die Zerlegung von $ u=\lambda e$ in seine Größe $ \lambda=\sqrt{\sum_{i=0}^{p}(u^i)^2} > 0$ und seine Richtung $ e$

$\displaystyle \sum_{i=0}^{p}(e^i)^2 = 1 = \sum_{i=p+1}^{p+q+1}(e^i)^2\ ,$ (13.108)

zeigt, daß wir die Richtung eines Lichtstrahls als Punkt der Mannigfaltigkeit $ S^p\times S^q$ auffassen können.

Lorentztransformationen bilden lichtartige Vektoren auf lichtartige Vektoren ab, und da diese Transformationen linear sind $ \Lambda (\lambda e) =\lambda \Lambda e$, bilden sie die Richtungen lichtartiger Vektoren unabhängig von der Größe der Vektoren aufeinander ab

$\displaystyle \Lambda (\lambda e) = \lambda^\prime(\lambda,e) e^\prime(e)\ ,\qu...
...ambda^\prime(\lambda,e)} \Lambda e = \frac{1}{\lambda^\prime(1,e)}\Lambda e \ .$ (13.109)

Diese Selbstabbildungen von $ S^p\times S^q$ nennen wir Aberration.

Zur Bestimmung der Stabilitätsgruppe einer Richtung betrachten wir den Lichtstrahl $ u^a = \delta^a{}_0+\delta^a{}_{N}\in\mathbb{R}^{p+1,q+1}$, $ a=0,1,\dots,N=p+q+1$, und seine Änderung unter infinitesimalen Lorentztransformationen $ \delta u^a=\Omega^a{}_b u^b$, $ \Omega_{ab}= - \Omega_{ba}$. Die Richtung des Vektors $ u^a$ bleibt von den Lorentztransformationen ungeändert, für die $ \delta u^a=\epsilon u^a$ ein Vielfaches von $ u^a$ ist, für die also $ \Omega^a{}_0+\Omega^a{}_N=\epsilon(\delta^a{}_0+\delta^a{}_{N}) $ gilt. Die Einschränkung besagt $ \Omega^0{}_N=\epsilon=\Omega^N{}_0$ für $ a=0$ und $ a=N$ sowie $ b^m=\Omega^m{}_0=-\Omega^m{}_N$ für $ a=m=1,\dots, p+q$. Dies definiert eine Unterliealgebra von (E.89)

\begin{equation*}\begin{aligned}\Omega_{3\,mn}& = \Omega_{2\,m}{}^l\Omega_{1\,ln...
...{1\,m}-\epsilon_1 b_{2\,m}\ ,\\ \epsilon_3 & = 0\ , \end{aligned}\end{equation*}

nämlich die Liealgebra (E.90) der Weyl-Gruppe W$ (p,q)$, die von Translationen $ b^m$ Lorentztransformationen $ \Omega_{mn}=-\Omega_{nm}$ und Dilatationen $ \epsilon$ erzeugt wird.13.3Die Richtung eines lichtartigen Vektors $ u^a\in \mathbb{R}^{p+1,q+1}$ wird von solchen Lorentztransformationen invariant gelassen, die der Weylgruppe W$ (p,q)$ in $ 1+1$ weniger Dimensionen ähnlich ist.

Damit ist die Mannigfaltigkeit $ \mathcal{M}$, die Überlagerung des Orbits SO$ (p+1,q+1)$/W$ (p,q)$ identifiziert, denn sie ist eindeutig und stimmt daher für $ p>1$ und $ q>1$ mit $ S^p\times S^q$ überein, für $ p=1$ oder $ q=1$ ist $ {\mathbb{R}}$ statt $ S^1$ zu lesen. Die maximale, konforme Gruppe SO$ (p+1,q+1)$ wirkt auf $ S^p\times S^q$ durch Aberration.

Die Metrik auf $ \mathcal{M}$ ist bis auf einen konformen Faktor festgelegt. Dies ergibt sich daraus, daß die metrische Dichte $ \gamma^{mn}= \mathrm{g}^{\frac{1}{d}}g^{mn}$ als Tensordichte vom Gewicht $ \frac{2}{d}$ transformiert

$\displaystyle \gamma^{\prime\, mn}(x^\prime)= \left \vert\det \frac{\partial x^...
...ial x^{\prime\,n}}{\partial x^{l\,\phantom{\prime}}}\, \gamma^{kl}(x(x^\prime))$ (13.111)

und bei konformen Transformationen (E.25) unverändert bleibt $ \gamma^{\prime\, mn}(x^\prime)=\gamma^{mn}(x^\prime)$. Da sie durch konforme Transformationen von einem Punkt $ x$ an jeden anderen Punkt $ x^\prime (x)$ von $ \mathcal{M}$ verschleppt wird, liegt sie überall fest. Aus ihrem Inversen $ \gamma_{mn}=\mathrm{g}^{-\frac{1}{d}} g_{mn}$ läßt sich die Metrik

$\displaystyle g_{mn}=\Omega^{2}\gamma_{mn}$ (13.112)

bis auf einen konformen Faktor rekonstruieren.




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