Konforme Transformationen von ${\mathbb{R}}\times S^3$

Betrachten wir die Überlagerung ${\mathcal M}= {\mathbb{R}}\times S^3$ der Untermannigfaltigkeit $S^1\times S^3$ von ${\mathbb{R}}^{2,4}$. Diese Überlagerung ist in Kugelkoordinaten durch die Projektion

$$\begin{split}(t,\alpha,\theta,\varphi)\mapsto &(x^0,x^1,x^2,x... ...\theta\cos\varphi, \sin\alpha\sin\theta\sin\varphi) \end{split}$$ (13.113)

gegeben. Die Winkel $\alpha$ und $\theta$ variieren zwischen 0 und $\pi$, $\varphi$ zwischen 0 und $2\pi$, die Koordinate $t$ durchläuft alle reellen Zahlen. Auf ${\mathbb{R}}\times S^3$ wird von ${\mathbb{R}}^{2,4}$ die Metrik

$$\begin{split}\bigl (\frac{dx}{ds}\cdot \frac{dx}{ds}\bigr ) &... ...in^2 \theta\, \bigl ( \frac{d \varphi}{ds}\bigr )^2 \end{split}$$ (13.114)

induziert. Die in SO$(2,4)$ enthaltenen $\mathrm{SO}(2)$-Drehungen wirken als Isometrien auf den Kreis $(x^0, x^1)=(\cos t,\sin t)$ durch Translation der Zeit $t\mapsto t + a$. Die in der Überlagerung von SO$(2,4)$ enthaltenen Überlagerungen von Drehungen SO$(2)$ wirken ebenso, nur daß nicht die Punkte mit Koordinate $t$ und mit Koordinate $t+2\pi$ identifiziert werden. Die in SO$(2,4)$ enthaltenen Drehungen SO$(4)$ drehen $S^3$ und sind ebenfalls Isometrien. Die Isometrien von ${\mathbb{R}}\times S^3$ bilden die Produktgruppe ${\mathbb{R}}\times$SO$(4)$.

Die Lorentztransformation auf bewegte Bezugssysteme mischt in ${\mathbb{R}}^{2,4}$ zeitartige Koordinaten $(x^0, x^1)$ und räumliche Koordinaten $(x^2,x^3,x^4,x^5)$. Zum Beispiel ändert eine infinitesimale Lorentztransformation in der 0-$2$-Ebene die $x^0$- und $x^2$-Koordinaten um

$$\delta x^0 = x^2\, ,\quad \delta x^2 = x^0\ .$$

Auf Richtungen lichtartiger Vektoren angewendet wird dies eine infinitesimale Transformation auf $S^1\times S^3$, wenn wir sie um eine Streckung $\delta x^m = -a x^m$ mit $a=x^0x^2$ so ergänzen, daß $\delta x^m$ senkrecht auf dem Ortsvektor in ${\mathbb{R}}^2$ und ${\mathbb{R}}^4$ steht, so daß der transformierte Punkt wieder auf $S^1\times S^3$ liegt

$$\begin{split}\delta x^0 = x^2 - a x^0 \ &,\ \delta x^1 = - a ... ... &,\ \delta x^4 = -a x^4\ ,\ \delta x^5 = -a x^5\ . \end{split}$$ (13.115)

Wir lesen aus $\delta x^0 = \delta \cos t= - \sin t\, \delta t$ und $\delta x^2 = \delta \cos \alpha = - \sin \alpha \,\delta \alpha$ (E.116) die infinitesimale Transformation von $t$ und $\alpha$ ab

$$\delta t = - \sin t \cos \alpha\, ,\ \delta \alpha = - \cos t \sin \alpha\, .$$ (13.116)

Die Winkel $\theta$ und $\varphi$ bleiben unverändert.

Das Transformationsgesetz (E.119) zerfällt in zwei eindimensionale Transformationen

$$\delta (t\pm \alpha) = - \sin (t \pm \alpha)\ .$$ (13.117)

Die zu $\delta x = -\sin x$ gehörige endliche Transformation (A.97) mit Transformationsparameter $\sigma$ erhalten wir aus der Differentialgleichung

$$\frac{dx}{d\sigma}= -\sin x\, ,\quad \frac{1}{\sin x}\frac{dx}{d\sigma}= \frac{d \ln\tan\frac{x}{2}}{d\sigma}= -1$$ (13.118)

mit der Lösung

$$\tan \frac{x(\sigma)}{2} = \mathrm{e}^{-\sigma}\,\tan\frac{ x(0)}{2}$$ (13.119)

als Abbildung des Anfangswerts $x(0)$ auf $x(\sigma)$. Diese Abbildung ist uns von der Aberration (3.21) wohlvertraut. Bei $x=\pi$ liegt keine Singularität, sondern ein Fixpunkt vor, wie die äquivalente Form $\cot \frac{x(\sigma)}{2} = \mathrm{e}^{\sigma}\,\cot\frac{ x(0)}{2}$ zeigt.

Unter einer drehungsfreien Lorentztransformation in der 0-$2$-Ebene bleiben also $\theta$ und $\varphi$ unverändert, $t^\prime$ und $\alpha^\prime$ kann man den folgenden Gleichungen entnehmen

$$\tan \frac{t^\prime+\alpha^\prime}{2} = \mathrm{e}^{-\sigma}\,\ta... ...ac{t^\prime-\alpha^\prime}{2} = \mathrm{e}^{-\sigma}\,\tan\frac{t-\alpha}{2}\ ,$$ (13.120)

$$\tan t^\prime = {\sqrt{1-v^2}}\,\frac{\sin t}{\cos t + v \cos\alp... ...\tan\alpha^\prime = {\sqrt{1-v^2}}\,\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha + v \cos t}\ .$$ (13.121)

Diese Transformation ist typisch für alle konformen Transformationen von ${\mathbb{R}}\times S^3$, denn jede Transformation aus SO $(2,4)^\uparrow$ wirkt bis auf eine nachfolgende Drehung auf ${\mathbb{R}}^{2,4}$ als drehungsfreie Lorentztransformation in zueinander senkrechten zweidimensionalen Unterräumen (D.34).

Obwohl jede Kugelfläche $S^n$ eine Längenskala, nämlich den an der Krümmung ablesbaren Radius enthält, ist ${\mathbb{R}}\times S^3$ ein maximal konform symmetrischer Raum. Er hat eine größere konforme Gruppe als der Minkowskiraum ${\mathbb{R}}^{1,3}$, der nur die von Poincaré-Transformationen und Dilatationen erzeugten Weyltransformationen (E.97) zuläßt. Mit der de Sitter-Metrik (F.31) ist ${\mathbb{R}}\times S^3$ zudem maximal symmetrisch.