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Konforme Transformationen von $ {\mathbb{R}}\times S^3$

Betrachten wir die Überlagerung $ {\mathcal M}= {\mathbb{R}}\times S^3$ der Untermannigfaltigkeit $ S^1\times S^3$ von $ {\mathbb{R}}^{2,4}$. Diese Überlagerung ist in Kugelkoordinaten durch die Projektion

\begin{displaymath}\begin{split}(t,\alpha,\theta,\varphi)\mapsto &(x^0,x^1,x^2,x...
...\theta\cos\varphi, \sin\alpha\sin\theta\sin\varphi) \end{split}\end{displaymath} (13.113)

gegeben. Die Winkel $ \alpha$ und $ \theta$ variieren zwischen 0 und $ \pi$, $ \varphi$ zwischen 0 und $ 2\pi$, die Koordinate $ t$ durchläuft alle reellen Zahlen. Auf $ {\mathbb{R}}\times S^3$ wird von $ {\mathbb{R}}^{2,4}$ die Metrik

\begin{displaymath}\begin{split}\bigl (\frac{dx}{ds}\cdot \frac{dx}{ds}\bigr ) &...
...in^2 \theta\, \bigl ( \frac{d \varphi}{ds}\bigr )^2 \end{split}\end{displaymath} (13.114)

induziert. Die in SO$ (2,4)$ enthaltenen $ \mathrm{SO}(2)$-Drehungen wirken als Isometrien auf den Kreis $ (x^0, x^1)=(\cos t,\sin t)$ durch Translation der Zeit $ t\mapsto t + a$. Die in der Überlagerung von SO$ (2,4)$ enthaltenen Überlagerungen von Drehungen SO$ (2)$ wirken ebenso, nur daß nicht die Punkte mit Koordinate $ t$ und mit Koordinate $ t+2\pi$ identifiziert werden. Die in SO$ (2,4)$ enthaltenen Drehungen SO$ (4)$ drehen $ S^3$ und sind ebenfalls Isometrien. Die Isometrien von $ {\mathbb{R}}\times S^3$ bilden die Produktgruppe $ {\mathbb{R}}\times$SO$ (4)$.

Die Lorentztransformation auf bewegte Bezugssysteme mischt in $ {\mathbb{R}}^{2,4}$ zeitartige Koordinaten $ (x^0, x^1)$ und räumliche Koordinaten $ (x^2,x^3,x^4,x^5)$. Zum Beispiel ändert eine infinitesimale Lorentztransformation in der 0-$ 2$-Ebene die $ x^0$- und $ x^2$-Koordinaten um

$\displaystyle \delta x^0 = x^2\, ,\quad \delta x^2 = x^0\ .$    

Auf Richtungen lichtartiger Vektoren angewendet wird dies eine infinitesimale Transformation auf $ S^1\times S^3$, wenn wir sie um eine Streckung $ \delta x^m = -a x^m$ mit $ a=x^0x^2$ so ergänzen, daß $ \delta x^m$ senkrecht auf dem Ortsvektor in $ {\mathbb{R}}^2$ und $ {\mathbb{R}}^4$ steht, so daß der transformierte Punkt wieder auf $ S^1\times S^3$ liegt

\begin{displaymath}\begin{split}\delta x^0 = x^2 - a x^0 \ &,\ \delta x^1 = - a ...
... &,\ \delta x^4 = -a x^4\ ,\ \delta x^5 = -a x^5\ . \end{split}\end{displaymath} (13.115)

Wir lesen aus $ \delta x^0 = \delta \cos t= - \sin t\, \delta t$ und $ \delta x^2 = \delta \cos \alpha = - \sin \alpha \,\delta \alpha $ (E.116) die infinitesimale Transformation von $ t$ und $ \alpha$ ab

$\displaystyle \delta t = - \sin t \cos \alpha\, ,\ \delta \alpha = - \cos t \sin \alpha\, .$ (13.116)

Die Winkel $ \theta$ und $ \varphi$ bleiben unverändert.

Das Transformationsgesetz (E.119) zerfällt in zwei eindimensionale Transformationen

$\displaystyle \delta (t\pm \alpha) = - \sin (t \pm \alpha)\ .$ (13.117)

Die zu $ \delta x = -\sin x$ gehörige endliche Transformation (A.97) mit Transformationsparameter $ \sigma$ erhalten wir aus der Differentialgleichung

$\displaystyle \frac{dx}{d\sigma}= -\sin x\, ,\quad \frac{1}{\sin x}\frac{dx}{d\sigma}= \frac{d \ln\tan\frac{x}{2}}{d\sigma}= -1$ (13.118)

mit der Lösung

$\displaystyle \tan \frac{x(\sigma)}{2} = \mathrm{e}^{-\sigma}\,\tan\frac{ x(0)}{2}$ (13.119)

als Abbildung des Anfangswerts $ x(0)$ auf $ x(\sigma)$. Diese Abbildung ist uns von der Aberration (3.21) wohlvertraut. Bei $ x=\pi$ liegt keine Singularität, sondern ein Fixpunkt vor, wie die äquivalente Form $ \cot \frac{x(\sigma)}{2} = \mathrm{e}^{\sigma}\,\cot\frac{ x(0)}{2}$ zeigt.

Unter einer drehungsfreien Lorentztransformation in der 0-$ 2$-Ebene bleiben also $ \theta$ und $ \varphi$ unverändert, $ t^\prime$ und $ \alpha^\prime$ kann man den folgenden Gleichungen entnehmen

$\displaystyle \tan \frac{t^\prime+\alpha^\prime}{2} = \mathrm{e}^{-\sigma}\,\ta...
...ac{t^\prime-\alpha^\prime}{2} = \mathrm{e}^{-\sigma}\,\tan\frac{t-\alpha}{2}\ ,$ (13.120)
$\displaystyle \tan t^\prime = {\sqrt{1-v^2}}\,\frac{\sin t}{\cos t + v \cos\alp...
...\tan\alpha^\prime = {\sqrt{1-v^2}}\,\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha + v \cos t}\ .$ (13.121)

Diese Transformation ist typisch für alle konformen Transformationen von $ {\mathbb{R}}\times S^3$, denn jede Transformation aus SO $ (2,4)^\uparrow$ wirkt bis auf eine nachfolgende Drehung auf $ {\mathbb{R}}^{2,4}$ als drehungsfreie Lorentztransformation in zueinander senkrechten zweidimensionalen Unterräumen (D.34).

Obwohl jede Kugelfläche $ S^n$ eine Längenskala, nämlich den an der Krümmung ablesbaren Radius enthält, ist $ {\mathbb{R}}\times S^3$ ein maximal konform symmetrischer Raum. Er hat eine größere konforme Gruppe als der Minkowskiraum $ {\mathbb{R}}^{1,3}$, der nur die von Poincaré-Transformationen und Dilatationen erzeugten Weyltransformationen (E.97) zuläßt. Mit der de Sitter-Metrik (F.31) ist $ {\mathbb{R}}\times S^3$ zudem maximal symmetrisch.



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