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Konform invariante Materiewirkung

Konform invariante Langrangedichten $ \mathscr{L}(\phi,\partial \phi)$ für Materiefelder $ \phi$ auf auf $ \mathbb{R}\times S^{d-1}$ kann man aus denjenigen Lagrangedichten $ \mathscr{L}(g,\partial g, \phi,\partial \phi)$ erhalten, die unter allgemeinen Koordinatentransformationen wie eine Dichte transformieren $ \delta_\xi \mathscr{L}= \partial_m (\xi^m \mathscr{L})$ und die spezieller nicht von Metrik, sondern nur von der metrischen Dichte $ \gamma^{mn}= \mathrm{g}^{\frac{1}{d}}g^{mn}$ abhängen, wie beim Skalarfeld $ \phi$ mit Lagrangedichte $ \mathscr{L}=\frac{1}{2}\sqrt{\mathrm{g}}\,g^{mn}\,\partial_m \phi\,\partial_n\phi$ in $ d=2$ Dimensionen und für $ d=4$ beim Vektorfeld $ A_m$ mit $ \mathscr{L}=-\frac{1}{4}\sqrt{\mathrm{g}}\,g^{kl}\,g^{mn}\,F_{km}F_{ln}$ (7.37).

Solch eine Wirkung ist unter allgemeinen Koordinatentransformationen invariant, wenn wir $ \gamma^{mn}$ und $ \phi$ transformieren. Wenn $ \gamma^{mn}$ unter konformen Transformationen invariant ist und als Hintergrundfeld fest vorgegeben wird, so ist die Wirkung unter konformen Transformationen von $ \phi$ allein invariant.

In $ d$ Dimensionen müßte ein Skalarfeld als Dichte vom Gewicht $ w$

$\displaystyle \phi^\prime(x^\prime) = \left \vert \det \frac{\partial x}{\partial x^\prime}\right \vert^w \phi(x)$ (13.122)

mit $ w= \frac{1}{2}-\frac{1}{d}$ eingeführt werden, damit $ \mathscr{L}=\frac{1}{2}\gamma^{mn}D_m\phi D_n\phi$ eine skalare Dichte vom Gewicht $ 1$ und die quadratische Lagrangefunktion einer invarianten Wirkung ist. Allerdings erfordert für $ w\ne 0$, also $ d>2$, die kovariante Ableitung einer Dichte

$\displaystyle D_m \phi =\partial_m \phi + w\,a_m \phi$ (13.123)

ein Eichfeld $ a_m$ mit Transformationsgesetz

$\displaystyle a^\prime_m(x^\prime) = \frac{\partial x^n}{\partial x^{\prime\,m}...
...tial_m \ln \left \vert \det \frac{\partial x}{\partial x^\prime}\right \vert\ .$ (13.124)

Solch ein Feld kann aber auf $ {\mathbb{R}}\times S^{d-1}$ nicht als Hintergrundfeld vorgegeben werden, das invariant unter konformen Transformationen ist. Denn es muß an jedem Punkt $ x$ invariant unter der Stabilitätsgruppe $ H_x$ sein. Es ist aber kein Wert des Eichfeldes $ a_m(0)$ invariant unter eigentlich konformen Transformationen.

Für $ d>2$ führt die Einstein-Hilbert-Lagrangedichte $ \mathscr{L}=\sqrt{\hat{\mathrm{g}}}(\hat{R}-2\Lambda)$ (E.17) zu einer konform invarianten Wirkung für ein skalares Feld, das Dilaton $ \phi$. Die Metrik $ \hat{g}_{mn}$

$\displaystyle \hat{g}_{mn}=\phi^{\frac{4}{d-2}}g_{mn}$ (13.125)

ist dabei zusammengesetzt aus einem konformen Faktor $ \phi^{\frac{4}{d-2}}$ und einer konform symmetrischen, fest vorgegebenen Hintergrundmetrik $ g_{mn}$ (E.115). Unter infinitesimalen konformen Transformationen ist die Wirkung invariant, wenn $ (\delta \phi^{\frac{4}{d-2}}) g_{mn}$ die Lieableitung von $ \hat{g}_{mn}$ ergibt

$\displaystyle (\delta \phi^{\frac{4}{d-2}})g_{mn}=\mathcal{L}_\xi(\phi^{\frac{4...
...partial_m\phi^{\frac{4}{d-2}}+\frac{2}{d}D_l\xi^l\phi^{\frac{4}{d-2}})g_{mn}\ .$ (13.126)

Dabei haben wir die konforme Killinggleichung $ \mathcal{L}_\xi g_{mn}=2\epsilon g_{mn}$, $ \epsilon=\frac{1}{d}D_l\xi^l$, (E.27) verwendet. Wir lesen die infinitesimale konforme Transformation des Dilatons $ \phi$ ab

$\displaystyle \delta \phi = \xi^m \partial_m \phi + \frac{d-2}{2d}D_l\xi^l \phi\ ,$ (13.127)

unter der die Wirkung mit Lagrangefunktion $ \mathscr{L}=\sqrt{\hat{\mathrm{g}}}(\hat{R}-2\Lambda)$ (E.17) invariant ist.


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