Konform invariante Materiewirkung

Konform invariante Langrangedichten $\mathscr{L}(\phi,\partial \phi)$ für Materiefelder $\phi$ auf auf $\mathbb{R}\times S^{d-1}$ kann man aus denjenigen Lagrangedichten $\mathscr{L}(g,\partial g, \phi,\partial \phi)$ erhalten, die unter allgemeinen Koordinatentransformationen wie eine Dichte transformieren $\delta_\xi \mathscr{L}= \partial_m (\xi^m \mathscr{L})$ und die spezieller nicht von Metrik, sondern nur von der metrischen Dichte $\gamma^{mn}= \mathrm{g}^{\frac{1}{d}}g^{mn}$ abhängen, wie beim Skalarfeld $\phi$ mit Lagrangedichte $\mathscr{L}=\frac{1}{2}\sqrt{\mathrm{g}}\,g^{mn}\,\partial_m \phi\,\partial_n\phi$ in $d=2$ Dimensionen und für $d=4$ beim Vektorfeld $A_m$ mit $\mathscr{L}=-\frac{1}{4}\sqrt{\mathrm{g}}\,g^{kl}\,g^{mn}\,F_{km}F_{ln}$ (7.37).

Solch eine Wirkung ist unter allgemeinen Koordinatentransformationen invariant, wenn wir $\gamma^{mn}$ und $\phi$ transformieren. Wenn $\gamma^{mn}$ unter konformen Transformationen invariant ist und als Hintergrundfeld fest vorgegeben wird, so ist die Wirkung unter konformen Transformationen von $\phi$ allein invariant.

In $d$ Dimensionen müßte ein Skalarfeld als Dichte vom Gewicht $w$

$$\phi^\prime(x^\prime) = \left \vert \det \frac{\partial x}{\partial x^\prime}\right \vert^w \phi(x)$$ (13.122)

mit $w= \frac{1}{2}-\frac{1}{d}$ eingeführt werden, damit $\mathscr{L}=\frac{1}{2}\gamma^{mn}D_m\phi D_n\phi$ eine skalare Dichte vom Gewicht $1$ und die quadratische Lagrangefunktion einer invarianten Wirkung ist. Allerdings erfordert für $w\ne 0$, also $d>2$, die kovariante Ableitung einer Dichte

$$D_m \phi =\partial_m \phi + w\,a_m \phi$$ (13.123)

ein Eichfeld $a_m$ mit Transformationsgesetz

$$a^\prime_m(x^\prime) = \frac{\partial x^n}{\partial x^{\prime\,m}... ...tial_m \ln \left \vert \det \frac{\partial x}{\partial x^\prime}\right \vert\ .$$ (13.124)

Solch ein Feld kann aber auf ${\mathbb{R}}\times S^{d-1}$ nicht als Hintergrundfeld vorgegeben werden, das invariant unter konformen Transformationen ist. Denn es muß an jedem Punkt $x$ invariant unter der Stabilitätsgruppe $H_x$ sein. Es ist aber kein Wert des Eichfeldes $a_m(0)$ invariant unter eigentlich konformen Transformationen.

Für $d>2$ führt die Einstein-Hilbert-Lagrangedichte $\mathscr{L}=\sqrt{\hat{\mathrm{g}}}(\hat{R}-2\Lambda)$ (E.17) zu einer konform invarianten Wirkung für ein skalares Feld, das Dilaton $\phi$. Die Metrik $\hat{g}_{mn}$

$$\hat{g}_{mn}=\phi^{\frac{4}{d-2}}g_{mn}$$ (13.125)

ist dabei zusammengesetzt aus einem konformen Faktor $\phi^{\frac{4}{d-2}}$ und einer konform symmetrischen, fest vorgegebenen Hintergrundmetrik $g_{mn}$ (E.115). Unter infinitesimalen konformen Transformationen ist die Wirkung invariant, wenn $(\delta \phi^{\frac{4}{d-2}}) g_{mn}$ die Lieableitung von $\hat{g}_{mn}$ ergibt

$$(\delta \phi^{\frac{4}{d-2}})g_{mn}=\mathcal{L}_\xi(\phi^{\frac{4... ...partial_m\phi^{\frac{4}{d-2}}+\frac{2}{d}D_l\xi^l\phi^{\frac{4}{d-2}})g_{mn}\ .$$ (13.126)

Dabei haben wir die konforme Killinggleichung $\mathcal{L}_\xi g_{mn}=2\epsilon g_{mn}$, $\epsilon=\frac{1}{d}D_l\xi^l$, (E.27) verwendet. Wir lesen die infinitesimale konforme Transformation des Dilatons $\phi$ ab

$$\delta \phi = \xi^m \partial_m \phi + \frac{d-2}{2d}D_l\xi^l \phi\ ,$$ (13.127)

unter der die Wirkung mit Lagrangefunktion $\mathscr{L}=\sqrt{\hat{\mathrm{g}}}(\hat{R}-2\Lambda)$ (E.17) invariant ist.