Harmonische Eichung

In der Umgebung jedes Punktes lassen sich Koordinaten finden, in denen die Metrik die Lorenzbedingung

$$\partial_m (\sqrt{\mathrm{g}} g^{mn}) = 0\ ,\quad\mathrm{g}=\det g_{..}$$ (14.1)

erfüllt. Diese Eichung heißt auch harmonische Eichung.

Ist die Bedingung noch nicht erfüllt, so betrachte man neue Koordinatenfunktionen $x^{\prime\, m}$. Für die Lorenzbedingung in diesen Koordinaten gilt

$$\begin{split}\partial^\prime_m(\sqrt{\mathrm{g}^\prime}g^{\pr... ...vert\det \frac{\partial x}{\partial x^\prime} \vert \end{split}$$ (14.2)

Hierbei ist $\frac{\partial x^r}{\partial x^{\prime\,m}}\frac{\partial x^{\prime\,m}}{\partial x^k} =\delta^r_k$ verwendet worden. Der zweite und der dritte Term heben sich auf, denn die Ableitung der Determinante ergibt (H.10)

$$\partial_k \vert\det \frac{\partial x}{\partial x^\prime} \vert =... ...rtial x^{\prime\, s}} \partial_k \frac{\partial x^{\prime\,s}}{\partial x^r}\ ,$$ (14.3)

und es gilt einfach

$$\partial^\prime_m(\sqrt{\mathrm{g}^\prime}g^{\prime\, mn}) = \ver... ... x^\prime} \vert\partial_k (\sqrt{\mathrm{g}}g^{kl}\partial_lx^{\prime\, n})\ .$$ (14.4)

Wählt man also in der Umgebung eines Punktes die Funktionen $x^{\prime\, m}$ als Lösung von

$$0 = \partial_k (\sqrt{\mathrm{g}}g^{kl}\partial_l x^{\prime\, n})... ...{\prime\, n}+ \partial_k (\sqrt{\mathrm{g}}g^{kl}) \partial_l x^{\prime\, n}\ ,$$ (14.5)

und solche Lösungen existieren [36], so definieren sie bei geeignet gewählten Anfangsbedingungen, $\det \frac{\partial x^\prime}{\partial x}\ne 0$, neue Koordinaten, in denen die Lorenzbedingung gilt.

Die Lorenzbedingung legt die Koordinaten nicht vollständig fest. Ist sie schon erfüllt, so gilt sie auch in allen weiteren Koordinatensystemen $x^{\prime\, m}$, deren Koordinatenfunktionen die Wellengleichung erfüllen

$$\sqrt{\mathrm{g}}g^{kl}\partial_k\partial_lx^{\prime\, n}= 0\ .$$ (14.6)

Die Schwarzschildlösung ist in harmonischen Koordinaten $(t,x^1,x^2,x^3)$ und in zugehörigen Kugelkoordinaten $(t,\hat{r},\theta,\varphi)$, wenn $i$ die Werte $1,2,3$ durchläuft,

$$\begin{aligned}g_{kl}dx^k dx^l &= \frac{\hat{r}-m}{\hat{r}+m}(d... ...igl( (d\theta)^2+\sin^2\theta(d\varphi)^2 \bigr)\ . \end{aligned}$$

Sie stimmt mit (6.15) überein, wenn dort $r$ als $\hat{r}+m$ und $r_0$ als $2m$ gelesen wird.

Das Volumenelement $\sqrt{\mathrm{g}}$ in harmonischen Koordinaten berechnet man aus dem Produkt der Eigenwerte der Matrix mit Elementen $g_{kl}$. Durch Multiplikation mit der Metrik werden Vektoren $u$ mit nur einer Zeitkomponente mit $g_{00}=(\hat{r}-m)/(\hat{r}+m)$ gestreckt, Vektoren $v$ in Richtung von $x^i$ mit $-(\hat{r}+m)/(\hat{r}-m)$ und zwei zu $u$ und $v$ senkrechte Vektoren mit $-(1+m/\hat{r})^2$,

$$\sqrt{\mathrm{g}}=(1+\frac{m}{\hat{r}})^2\ .$$ (14.8)

Mit dem Ansatz $\sqrt{\mathrm{g}}g^{ij}=a\delta^{ij}+bx^ix^j$ berechnet man $\sqrt{\mathrm{g}}g^{mp}$ aus $\sqrt{\mathrm{g}}g^{mp}g_{pn}=\sqrt{\mathrm{g}}\delta^m{}_n$,

$$\sqrt{\mathrm{g}}g^{ij}=-\delta^{ij}+ \frac{m^2}{\hat{r}^4}x^ix^j... ...m{g}}g^{00}=\frac{(\hat{r}+m)}{(\hat{r}-m)}\bigl(1+\frac{m}{\hat{r}}\bigr)^2\ ,$$ (14.9)

und kann $\partial_m (\sqrt{\mathrm{g}}g^{mn})=0$ einfach durch Differenzieren bestätigen.