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Harmonische Eichung

In der Umgebung jedes Punktes lassen sich Koordinaten finden, in denen die Metrik die Lorenzbedingung

$\displaystyle \partial_m (\sqrt{\mathrm{g}} g^{mn}) = 0\ ,\quad\mathrm{g}=\det g_{..}$ (14.1)

erfüllt. Diese Eichung heißt auch harmonische Eichung.

Ist die Bedingung noch nicht erfüllt, so betrachte man neue Koordinatenfunktionen $ x^{\prime\, m}$. Für die Lorenzbedingung in diesen Koordinaten gilt

\begin{displaymath}\begin{split}\partial^\prime_m(\sqrt{\mathrm{g}^\prime}g^{\pr...
...vert\det \frac{\partial x}{\partial x^\prime} \vert \end{split}\end{displaymath} (14.2)

Hierbei ist $ \frac{\partial x^r}{\partial x^{\prime\,m}}\frac{\partial x^{\prime\,m}}{\partial x^k} =\delta^r_k$ verwendet worden. Der zweite und der dritte Term heben sich auf, denn die Ableitung der Determinante ergibt (H.10)

$\displaystyle \partial_k \vert\det \frac{\partial x}{\partial x^\prime} \vert =...
...rtial x^{\prime\, s}} \partial_k \frac{\partial x^{\prime\,s}}{\partial x^r}\ ,$ (14.3)

und es gilt einfach

$\displaystyle \partial^\prime_m(\sqrt{\mathrm{g}^\prime}g^{\prime\, mn}) = \ver...
... x^\prime} \vert\partial_k (\sqrt{\mathrm{g}}g^{kl}\partial_lx^{\prime\, n})\ .$ (14.4)

Wählt man also in der Umgebung eines Punktes die Funktionen $ x^{\prime\, m}$ als Lösung von

$\displaystyle 0 = \partial_k (\sqrt{\mathrm{g}}g^{kl}\partial_l x^{\prime\, n})...
...{\prime\, n}+ \partial_k (\sqrt{\mathrm{g}}g^{kl}) \partial_l x^{\prime\, n}\ ,$ (14.5)

und solche Lösungen existieren [36], so definieren sie bei geeignet gewählten Anfangsbedingungen, $ \det \frac{\partial x^\prime}{\partial x}\ne 0$, neue Koordinaten, in denen die Lorenzbedingung gilt.

Die Lorenzbedingung legt die Koordinaten nicht vollständig fest. Ist sie schon erfüllt, so gilt sie auch in allen weiteren Koordinatensystemen $ x^{\prime\, m}$, deren Koordinatenfunktionen die Wellengleichung erfüllen

$\displaystyle \sqrt{\mathrm{g}}g^{kl}\partial_k\partial_lx^{\prime\, n}= 0\ .$ (14.6)

Die Schwarzschildlösung ist in harmonischen Koordinaten $ (t,x^1,x^2,x^3)$ und in zugehörigen Kugelkoordinaten $ (t,\hat{r},\theta,\varphi)$, wenn $ i$ die Werte $ 1,2,3$ durchläuft,

\begin{equation*}\begin{aligned}g_{kl}dx^k dx^l &= \frac{\hat{r}-m}{\hat{r}+m}(d...
...igl( (d\theta)^2+\sin^2\theta(d\varphi)^2 \bigr)\ . \end{aligned}\end{equation*}

Sie stimmt mit (6.15) überein, wenn dort $ r$ als $ \hat{r}+m$ und $ r_0$ als $ 2m$ gelesen wird.

Das Volumenelement $ \sqrt{\mathrm{g}}$ in harmonischen Koordinaten berechnet man aus dem Produkt der Eigenwerte der Matrix mit Elementen $ g_{kl}$. Durch Multiplikation mit der Metrik werden Vektoren $ u$ mit nur einer Zeitkomponente mit $ g_{00}=(\hat{r}-m)/(\hat{r}+m)$ gestreckt, Vektoren $ v$ in Richtung von $ x^i$ mit $ -(\hat{r}+m)/(\hat{r}-m)$ und zwei zu $ u$ und $ v$ senkrechte Vektoren mit $ -(1+m/\hat{r})^2$,

$\displaystyle \sqrt{\mathrm{g}}=(1+\frac{m}{\hat{r}})^2\ .$ (14.8)

Mit dem Ansatz $ \sqrt{\mathrm{g}}g^{ij}=a\delta^{ij}+bx^ix^j$ berechnet man $ \sqrt{\mathrm{g}}g^{mp}$ aus $ \sqrt{\mathrm{g}}g^{mp}g_{pn}=\sqrt{\mathrm{g}}\delta^m{}_n$,

$\displaystyle \sqrt{\mathrm{g}}g^{ij}=-\delta^{ij}+ \frac{m^2}{\hat{r}^4}x^ix^j...
...m{g}}g^{00}=\frac{(\hat{r}+m)}{(\hat{r}-m)}\bigl(1+\frac{m}{\hat{r}}\bigr)^2\ ,$ (14.9)

und kann $ \partial_m (\sqrt{\mathrm{g}}g^{mn})=0$ einfach durch Differenzieren bestätigen.




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