Synchronisiertes Bezugssystem

Durch Wahl einer Funktion $T$ kann man Schichten $T=$konst definieren. Der Vektor $u$, $u^m = g^{mn}\partial_n T$, ist, wenn sein Längenquadrat nicht verschwindet, $\partial_m T \partial_n T g^{mn} \ne 0$, linear unabhängig von den Tangentialvektoren $v$ der Schichten, denn er steht auf ihnen senkrecht, $v^m \partial_m T = 0$, und ist nicht lichtartig.

Führt man in in einer genügend kleinen Umgebung $U$ eines Punktes $p$ in der Schicht, in der er liegt, Koordinaten $(x^1,\dots,x^{d-1})$ ein und verwendet man als $x^0$-Koordinate für alle Punkte $q$ in $U$ den Wert $T$ der Schicht, in der $q$ liegt, so kann man als weitere Koordinaten von $q$ die Koordinaten $(x^1,\dots,x^{d-1})$ des Punktes wählen, in dem die Integralkurve von $u$ durch $q$ diejenige Schicht schneidet, in der $p$ liegt. In diesen Koordinaten ist die Metrik blockdiagonal

$$g_{0i} = \partial_0\cdot \partial_i = 0\ ,\quad i\in\{1,2,\dots,d-1\}\ ,$$ (14.10)

denn $\partial_0$ ist in Richtung von $u$ und senkrecht auf $\partial_i$, $i=1,\dots,d-1$.

Durch geschickte Wahl von Schichten $x^0=$konst, wenn man nämlich als Funktion $T(q)$ den Abstand des Punktes $q$ zur Fläche $T=0$ wählt, läßt sich zudem $g_{00}= 1$ erreichen. Dazu wählen wir zunächst eine Schicht $x^0=0$ so, daß ihre Tangentialvektoren überall raumartig sind. Durch jeden Punkt $p$ in einer genügend kleinen Umgebung der Schicht geht genau eine geodätische Linie (6.13), deren Tangentialvektor $v$ Einheitslänge hat und die Schicht $x^0=0$ senkrecht schneidet. Verwenden wir als Zeitkoordinate $x^0$ für $p$ die Länge dieser Linie zur Schicht und wählen wir die übrigen Koordinaten $x^1, \dots, x^{d-1}$ so, daß sie längs der Linie konstant sind, also gleich den Koordinaten des Schnittpunktes der geodätischen Linie mit der Schicht, so sind die Koordinatenlinien $x^0(s) = s$, $x^i(s)=x^i(0)$, $i=1,\dots,d-1$, geodätisch und haben einen Tangentialvektor $\frac{dx^m}{ds}= (1,0,\dots,0)$. Da er Einheitslänge hat, gilt $g_{00}= 1$. Zudem erfüllt $x^m(s)$ die Geodätengleichung (6.13), $0=\Ddot{x}^n +\Gamma_{kl}{}^n\Dot{x}^k\Dot{x}^l= 0 + \Gamma_{00}{}^n$. Dies besagt $0=2g_{mn}\Gamma_{00}{}^n=\partial_0 g_{m0}+\partial_0 g_{m0}-\partial_m g_{00}$, und da $g_{00}= 1$ ist, ändert sich $g_{m0}$ nicht mit der Zeit längs der geodätischen Linien. Da sie die Schicht $x^0=0$ senkrecht schneiden, gilt dort $g_{0i}= 0$, also gilt überall

$$g_{00}= 1\ ,\quad g_{0i}= 0 \ ,\quad i\in\{1,2,\dots,d-1\}\ ,$$ (14.11)

in einer genügend kleinen Umgebung der Schicht $x^0=0$. Die zugehörigen Koordinaten heißen Gaußsche Koordinaten oder synchronisiertes Bezugssystem.

Im synchronisierten Bezugssystem ruhende Teilchen sind frei fallend, denn sie durchlaufen geodätische Weltlinien. Das Bezugssystem heißt daher auch mitfallendes Bezugssystem. Es wird singulär, wenn sich die Weltlinien der ortsfesten, frei fallenden Teilchen schneiden.