Dopplerfaktor und Geschwindigkeit

Im Raumzeitdiagramm 2.3 ist $\tau^\prime /T_-=T_+/\tau^\prime$ und $\tau^\prime=\tau$, also gilt $\tau /T_-=T_+/\tau$. Es ist aber ${\tau}/{T_-}$ das Verhältnis von Empfangs- zu Sendezeit (2.1) von Lichtpulsen, die von $\mathcal{B}$ zu $\mathcal{U}$ ausgesendet werden, und ${T_+}/{\tau}$ ist das Verhältnis für den Rückweg. Also stimmen beide Verhältnisse überein

$$\kappa({\mathcal{U}},{\mathcal{B}})=\kappa({\mathcal{B}},{\mathcal{U}})\ .$$ (2.8)

Der Dopplerfaktor, mit dem $\mathcal B$ Frequenzen von $\mathcal U$ verschoben sieht, stimmt bei Bewegung in Sichtlinie mit dem Dopplerfaktor überein, mit dem $\mathcal U$ Frequenzen von $\mathcal B$ verschoben wahrnimmt.

Wegen $T_+ = \kappa({\mathcal{B}},{\mathcal{U}}) \tau$ und $\tau = \kappa({\mathcal U},{\mathcal B})T_-$ gilt

$$T_+= \kappa^2\, T_-$$ (2.9)

für alle Ereignisse $E$, die nach dem Ursprung von der Uhr $\mathcal{U}$ durchlaufen werden, wenn

Abbildung 2.6: aufeinander zu und voneinander weg

sie sich vom Beobachter $\mathcal B$ entfernt. Weil wegen (1.6)

$$\kappa^2=\frac{T_+}{T_-}=\frac{t+r}{t-r}=\frac{1+r/t}{1-r/t}$$ (2.10)

ist und weil $r/t$ definitionsgemäß die Geschwindigkeit $v$ ist, mit der sich die Uhr $\mathcal{U}$ vom Beobachter $\mathcal{B}$ entfernt, gilt

$$\kappa(v)=\sqrt{\frac{1+v}{1-v}}=\frac{1+v}{\sqrt{1-v^2}} \quad ,\quad v=\frac{\kappa^2-1}{\kappa^2+1}\ .$$ (2.11)

Sendet der Beobachter $\mathcal{B}$ vor dem Treffen zur Zeit $t_{\text{S}}<0$ einen Lichtpuls aus, während die Uhr $\mathcal{U}$ auf ihn zufliegt und sich also mit negativer Geschwindigkeit entfernt, so ist, wie das Diagramm 2.6 zeigt, das Verhältnis $\kappa(-v)=t_{\text{E}}/t_{\text{S}}$ der Kehrwert des Verhältnisses der Zeiten $T_{\mathcal B}$ und $T_{\mathcal U}$, die die Uhren später anzeigen, wenn sie sich entfernen

$$\kappa(-v)= \frac{t_{\text{E}}}{t_{\text{S}}} =\frac{T_{\mathcal U}}{T_{\mathcal B}} =\frac{1}{\kappa(v)} \ .$$ (2.12)

Eine Uhr, die sich gleichförmig von einem Beobachter entfernt, erscheint langsamer, denn er sieht auf ihr die Zeit $T_{\mathcal U}=T_{\mathcal B}/\kappa$, wenn ihm seine eigene, gleiche Uhr $T_{\mathcal B}$ anzeigt, und $\kappa(v)$ ist für $v>0$ größer als Eins. Wenn sich die Uhr einem Beobachter gleichförmig nähert, erscheint sie ihm schneller, denn der Dopplerfaktor während der Annäherung ist bei Bewegung in Sichtlinie der Kehrwert des Dopplerfaktors beim Wegfliegen.

Abbildung 2.7: Addition von Geschwindigkeiten

Mit (2.11) kann man die Geschwindigkeit $v$ bestimmen, indem man, wie alltäglich in der Verkehrsüberwachung, den Dopplerfaktor $\kappa$ mißt. Da er gleich bleibt, wenn man Beobachter und beobachtete Uhr vertauscht (2.8), messen zwei in Sichtlinie gegeneinander bewegte Beobachter dieselbe Relativgeschwindigkeit. Wir bestimmen aus (2.11), wie sich Relativgeschwindigkeiten mehrerer Beobachter verhalten. Die Zeiten, zu denen drei in gleiche Richtung bewegte Beobachter ${\mathcal B}_1$, ${\mathcal B}_2$ und ${\mathcal B}_3$ einen Lichtpuls registrieren, sind einander proportional

$$t_{2}=\kappa_{21}t_{1}\ ,\ t_{3}=\kappa_{32}t_{2}\ ,\ t_{3}=\kappa_{31}t_{1}\ .$$ (2.13)

Hieraus liest man unmittelbar ab

$$\kappa_{31}= \kappa_{32} \, \kappa_{21}\ .$$ (2.14)

Der Dopplerfaktor $\kappa_{31}$, um den ${\mathcal B}_3$ die eigene Uhr schneller als die von ${\mathcal B}_1$ gehen sieht, ist das Produkt des Dopplerfaktors $\kappa_{32}$, um den ${\mathcal B}_3$ seine Uhr schneller als die Uhr von ${\mathcal B}_2$ gehen sieht, mit dem Dopplerfaktor $\kappa_{21}$, um den ${\mathcal B}_2$ seine Uhr schneller als die Uhr von ${\mathcal B}_1$ gehen sieht.

Durch die Geschwindigkeiten ausgedrückt (2.11) und quadriert heißt dies (im Maßsystem mit $c=1$)

$$\frac{1+v_{31}}{1-v_{31}}= \frac{1+v_{32}}{1-v_{32}}\,\frac{1+v_{21}}{1-v_{21}}$$ (2.15)

und, nach $v_{31}$ aufgelöst,

$$v_{31}=\frac{v_{32}+v_{21}}{1+v_{32}v_{21}}\ .$$ (2.16)

Die Geschwindigkeit $v_{31}$, mit der ${\mathcal B}_3$ den Beobachter ${\mathcal B}_1$ sich entfernen sieht, ist nicht die Summe $v_{32}+v_{21}$ der Geschwindigkeit $v_{32}$, mit der ${\mathcal B}_3$ den Beobachter ${\mathcal B}_2$ sich entfernen sieht, und der Geschwindigkeit $v_{21}$, mit der ${\mathcal B}_2$ den Beobachter ${\mathcal B}_1$ sich entfernen sieht. Die naive Geschwindigkeitsaddition ist nur ungefähr richtig, solange, wie im täglichen Leben, $v_{32}$ und $v_{21}$ klein gegen die Lichtgeschwindigkeit $c=1$ sind.

Geschwindigkeiten addieren sich bis auf das Vorzeichen im Nenner wie Steigungen: Ist die Ladefläche eines Lastwagens um einen Winkel $\alpha$ gekippt, so hat sie die Steigung $m_1=\tan \alpha$. Befährt dieser Lastwagen eine Straße mit Neigungswinkel $\beta$ und Steigung $m_2=\tan \beta$, so ist die Ladefläche gegenüber der Horizontalen um $\alpha + \beta$ gekippt und hat die Gesamtsteigung

$$m_3= \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos (\alpha+\beta)}= \frac{\cos\a... ...tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha\tan \beta}=\frac{m_1+m_2}{1-m_1m_2}\ .$$ (2.17)

Definieren wir die Schnelligkeit $\sigma$ als Logarithmus des Dopplerfaktors $\kappa$,

$$\sigma=\ln \kappa = \frac{1}{2}\ln \frac{1+v}{1-v} \ ,\quad v =\f... ...-\mathrm{e}^{-\sigma}}{\mathrm{e}^\sigma+\mathrm{e}^{-\sigma}}= \tanh \sigma\ ,$$ (2.18)

so entspricht der Multiplikation der Dopplerfaktoren $\kappa=\mathrm{e}^\sigma$ die Addition der zugehörigen Schnelligkeiten. Es sind die Schnelligkeiten $\sigma$, nicht die Geschwindigkeiten $\tanh \sigma$, die sich bei Bewegung in einer Richtung von Beobachter zu Beobachter addieren.