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Statische Raumzeit

Ein $ d$-dimensionales Raumzeitgebiet, in dem ein zeitartiges Killingfeld $ \xi^m$, $ \xi^2 > 0$, existiert, heißt stationär. Das Killingfeld definiert an jedem Punkt einen $ d-1$-dimensionalen Raum $ \mathcal{V}_\perp$ derjenigen Tangentialvektoren $ v$, die senkrecht auf $ \xi$ stehen, $ v^n (g_{nm} \xi^m) = 0$. Die Raumzeit heißt statisch, wenn dieser Unterraum $ \mathcal{V}_\perp$ an jedem Punkt tangential zu einer Schicht gleicher Zeit $ T(x)=$   konst ist.

Für Tangentialvektoren $ v$ an Schichten gleicher Zeit gilt $ v(T) = v^n \partial_n T = 0$, denn $ T$ ändert sich nicht längs Kurven, die in einer Schicht gleicher Zeit verlaufen. Der Raum $ \mathcal{V}_\perp$ stimmt mit dem Tangentialraum an eine Schicht gleicher Zeit genau dann überein, wenn $ \xi_n = g_{nm}\xi^m$ an jedem Punkt ein nichtverschwindendes Vielfaches des Gradienten von $ T$ ist, $ \xi_n= f \partial_n T$, $ f\ne 0$. Dies wiederum ist genau dann der Fall, wenn die antisymmetrisierte Ableitung von $ \xi_n / f$ verschwindet. Dann gilt

$\displaystyle \partial_m \xi_n - \partial_n \xi_m = a_m \xi_n - a_n \xi_m\ .$ (14.12)

In $ d=2$ Dimensionen ist diese Gleichung immer erfüllt. Wir rechnen mit der torsionsfreien, metrikverträglichen kovarianten Ableitung und können die partiellen Ableitungen durch kovariante Ableitungen ersetzen. Die symmetrisierte, kovariante Ableitung $ D_m \xi_n + D_n \xi_m =0 $ verschwindet, da $ \xi$ ein Killingfeld ist (E.29). Folglich gilt

$\displaystyle D_m \xi_n = \frac{1}{2}\bigl ( a_m \xi_n - a_n \xi_m \bigr )\ ,$ (14.13)

und durch Multiplikation mit $ \xi$ können wir $ a_m$, das nur bis auf beliebige Vielfache von $ \xi_m$ definiert ist, identifizieren

$\displaystyle \partial_m (\xi \cdot \xi) = 2 (D_m \xi_n)\xi^n = (\xi \cdot \xi)...
...\cdot \xi)\xi_m \ , \quad a_m = \frac{1}{\xi^2} \partial_m \xi^2 + b\, \xi_m\ .$ (14.14)

Setzen wir $ a_m$ in (F.13) ein, so folgt: ein Raumzeitgebiet ist statisch, wenn ein Feld $ \xi$ mit $ \xi^2 > 0$ existiert, das den Gleichungen

$\displaystyle D_m \xi_n + D_n \xi_m = 0\ , \quad D_m \frac{\xi_n}{\xi^2} - D_n \frac{\xi_m}{\xi^2} = 0$ (14.15)

genügt. Dann kann eine Funktion $ T(x)$ aus $ \partial_n T = {\xi_n}/{\xi^2}$ bestimmt und als Koordinatenzeit $ x^0 = T$ verwendet werden. Die Koordinatenzeit ist in einer statischen Raumzeit geometrisch durch das Killingfeld $ \xi$ ausgezeichnet. Das Feld $ \xi$ hat dann Komponenten $ \xi_n = (1,0,\dots,0)\,\xi^2=(1/g^{00},0,\dots,0)$.

Führen wir in einer Schicht gleicher Zeit Koordinaten $ x^1, \dots, x^{d-1}$ ein und verwenden wir in anderen Schichten gleicher Zeit dieselben räumlichen Koordinaten $ x^1, \dots, x^{d-1}$ jeweils für die Punkte, die durch Integralkurven von $ \xi$ verbunden sind, so ändern sich längs solcher Integralkurven von $ \xi$ nicht die räumlichen Koordinaten, also gilt für die Integralkurven

$\displaystyle 0= \frac{dx^i}{d\lambda}= \xi^i = g^{i0}\xi_0 \ ,\quad i\in\{1,\dots,d-1\}\ ,$ (14.16)

und die Metrik ist blockdiagonal $ g^{i0}= 0$, $ g_{0i}= 0$. Dann gilt $ \xi^m = g^{mn}\xi_n = (1,0,\dots,0)$ und $ \xi^2 = g_{00}$. Zudem hängt die Metrik nur von den räumlichen Koordinaten ab, da ihre Lieableitung längs $ \xi$ verschwindet $ \mathcal{L}_\xi g_{mn}= \partial_0 g_{mn} = 0$. Die Christoffelsymbole haben daher folgende Werte

\begin{equation*}\begin{aligned}\Gamma_{00}{}^0 &= 0\ , & \Gamma_{0j}{}^0& = \fr...
...j g_{lk}+ \partial_k g_{lj} - \partial_l g_{ij})\ . \end{aligned}\end{equation*}




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