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Mannigfaltigkeiten mit Drehsymmetrie

Wenn eine Mannigfaltigkeit Drehungen als Isometrien zuläßt, so erzeugen sie wie jede kontinuierliche Gruppe $ G$, angewendet auf einen Punkt $ p$, den Orbit $ O_p= G/H_p$, wobei $ G=\mathrm{SO}(3)$ ist und $ H_p$ die Untergruppe derjenigen Transformationen ist, die $ p$ invariant lassen (B.23). Wir unterstellen, daß in einer Umgebung $ U$, die wir betrachten, die Orbits zweidimensionale Kugelschalen $ \mathrm{SO}(3)/\mathrm{SO}(2)= S^2$ sind.

Die infinitesimalen Drehungen definieren an jedem Punkt $ p\in U$ den von den Killingvektoren aufgespannten Tangentialraum $ T_{p}^O$ an die Kugelschalen sowie den Raum der dazu senkrechten Tangentialvektoren $ T_{p}^\perp$. Die Räume $ T_{p}^O$ und $ T_{p}^\perp$ enthalten keinen gemeinsamen, von 0 verschiedenen, lichtartigen Vektor, denn die Kugelschalen sind maximal symmetrisch und haben eine definite Metrik.14.1

Da die Dimension der Stabilitätsgruppe $ H_q$ von Punkten $ q$ in der Umgebung $ U$ konstant ist, läßt $ H_p$, wie wir zunächst zeigen wollen, jeden Vektor $ v\in T_p^\perp$ invariant.

Betrachten wir dazu die zu $ \mathrm{SO}(3)$ gehörigen Killingfelder in einer Umgebung von $ p$. Die Stabilitätsgruppe von $ p$ wird von einem Feld $ f=f^m \partial_m$ erzeugt, das bei $ p$ verschwindet, dessen Komponenten also von der Form $ f^m= - M^m{}_n x^n$ sind, wenn wir $ p$ die Koordinaten $ x=0$ geben und uns auf die niedrigste Ordnung in $ x$ beschränken.

Die von $ f$ erzeugte Transformation bildet den Tangentialraum des Orbits $ T_p^O$ auf sich ab, denn er wird von den zu $ G=\mathrm{SO}(3)$ gehörigen Tangentialvektorfeldern $ t$ aufgespannt, die eine Liealgebra bilden, und $ \delta t = [f,t]$ ist wieder ein zu $ G$ gehöriges Killingfeld.

Da die Stabilitätsgruppe aus Isometrien besteht und $ T_p^O$ auf sich abbildet, bildet sie auch den zu $ T_p^O$ senkrechten Raum $ T_p^\perp$ auf sich ab, denn sie läßt Skalarprodukte invariant.

Da in der Umgebung $ U$ die Dimension der Stabilitätsgruppe konstant ist, ist einschränkender jeder Vektor $ v\in T_p^\perp$ invariant unter der Stabilitätsgruppe. Denn dann gibt es an jedem Punkt $ x$ in dieser Umgebung eine Linearkombination $ f + \varepsilon^a t_a$ der zu $ \mathrm{SO}(3)$ gehörigen Killingfelder, die bei $ x$ verschwindet und die Stabilitätsgruppe erzeugt

$\displaystyle 0 = - M^m{}_n x^n + \varepsilon^a t_a^m + O(x^2)\ .$ (14.18)

Hierbei ist $ \varepsilon^a$ linear in $ x$ und $ t_a^m$ sind die Komponenten von $ t_a$ bei $ x=0$, wo sie $ T_p^O$ aufspannen. Diese Gleichung kann aber für $ x^n = v^n$, $ v\in T_p^\perp$, nur gelten, wenn $ v$ invariant unter der Stabilitätsgruppe ist

$\displaystyle M^m{}_n v^n = 0 \quad \forall v \in T_p^\perp\ ,$ (14.19)

denn $ M^m{}_n v^n=\delta v^m$ ist aus $ T_p^\perp$ und nur in $ T_p^O$, wenn es verschwindet. Also läßt, wie behauptet, die Stabilitätsgruppe $ H_p$ jeden Vektor in $ T_p^\perp$ invariant.

Da die Stabilitätsgruppe $ H_p$ keinen Tangentialvektor an den Orbit $ \mathrm{SO}(3)/\mathrm{SO}(2)$ invariant läßt, ist ein Vektor genau dann aus $ T_p^\perp$, wenn er unter $ H_p$ invariant ist.

Die Menge $ O_p^{\perp}$ der Punkte $ q$ auf geodätischen Linien, die in $ p$ den Orbit senkrecht schneiden, nennen wir die Achse durch $ p$. Da die Isometrien der Stabilitätsgruppe $ H_p$ geodätische Linien auf geodätische abbilden und weil $ H_p$ den Punkt $ p$ und die Vektoren aus $ T_p^\perp$ invariant läßt, ist jeder Punkt $ q$ auf der Achse durch $ p$ invariant unter $ H_p$. Denn jeder solcher Punkt $ q$ ist durch die Geodätengleichung, den Anfangspunkt $ p$ und den Tangentialvektor $ v$ festgelegt

$\displaystyle \frac{d^2 x^m}{dt^2}+ \Gamma_{kl}{}^m \frac{dx^k}{dt}\frac{dx^l}{...
...uad x^m(0)=0,\quad \frac{dx^m}{dt}(0) = v^m,\quad v^m \leftrightarrow x^m(1)\ .$ (14.20)

Die Punkte auf der Achse durch $ p$, die zu Tangentialvektoren aus einer Umgebung von $ v=0$ gehören, nennen wir einen Achsenabschnitt. Bei genügend kleinen Abschnitten ist die Abbildung von Tangentialvektor $ v$ auf den Achsenpunkt $ q$ mit Koordinaten $ x^m(1)$ umkehrbar.

Da die Dimension der Stabilitätsgruppe in der betrachteten Umgebung $ U$ von $ p$ konstant ist, ist für alle Punkte $ q\in U$ auf der Achse durch $ p$ wegen $ H_p\subset H_q$ die Stabilitätsgruppe gleich $ H_q = H_p$.

Da die Punkte auf der Achse invariant unter $ H_p$ sind, sind es auch die Tangentialvektoren an Kurven, die in der Achse verlaufen. Die Tangentialvektoren an die Achse stehen daher in jedem Achsenpunkt $ q\in O_p^\perp$ senkrecht auf $ T_q^O$, denn sie sind invariant unter $ H_q$. Die Achse durch $ p$ schneidet überall die Kugelschalen senkrecht [69].

Auf einen Achsenabschnitt angewendet erzeugen $ \mathrm{SO}(3)$-Transformationen eine vierdimensionale Mannigfaltigkeit, die aus Kugelschalen besteht. Diese Kugelschalen schneiden den Abschnitt genau einmal, wenn er genügend klein gewählt ist.

Jeder Punkt $ r$ in einer genügend kleinen Umgebung von $ p$ läßt sich daher als $ g(q)$ schreiben, wobei $ q= O_r \cap O_p^\perp$ der eindeutige Schnittpunkt des Orbits durch $ r$ mit der Achse durch $ p$ ist und $ g\in \mathrm{SO}(3)$ eindeutig bis auf eine Stabilitätstransformation $ h\in H_p=H_q$ ist, $ g^\prime(q)= g(q) \Leftrightarrow g^{\prime\, -1} g = h \in H_q$.

Verwenden wir in der vierdimensionalen Raumzeit für die Achse $ O_p^\perp$ Koordinaten $ u^i$, $ i=0,1$, und Kugelkoordinaten $ \theta$ und $ \varphi$ für $ \mathrm{SO}(3)/\mathrm{SO}(2)$, so hat die Metrik in der Umgebung $ U$ die Form

$\displaystyle g_{mn}dx^mdx^n = g_{ij}(u) du^i du^j + k(u)(d\theta^2 + \sin^2 \theta d\varphi^2 ).$ (14.21)

Denn jeder Orbit ist eine maximal symmetrische Kugelschale und die Metrik auf jeder Kugelschale liegt daher bis auf einen Vorfaktor $ k(u)$ fest, der von Orbit zu Orbit verschieden sein kann. Das Längenquadrat $ g_{ij}(u) du^i du^j$ von Tangentialvektoren an die Achse durch $ p$ ist nicht weiter eingeschränkt. Tangentialvektoren an $ T_q^\perp$ stehen in allen Punkten $ q$ der Achse durch $ p$ senkrecht auf den Orbits. Daher treten keine Mischterme $ d\theta du $ und $ d\varphi du $ auf. Die Isometrien $ g\in \mathrm{SO}(3)$ lassen die Skalarprodukte und die Koordinaten $ u^i$, $ i=0,1$, invariant und verschleppen die Tangentialvektoren an die Achse durch $ p$ in Tangentialvektoren mit gleichen Komponenten am Punkt $ g(p)$. Daher hat die Metrik nicht nur auf der Achse durch $ p$, sondern überall in $ U$ die angegebene Form.

Da die Raumzeit die Signatur $ -2$ hat, ist der Faktor $ k(u)$ negativ und kann dort, wo seine Ableitung nicht verschwindet, zur Definition der Koordinate $ r$, $ k(u)= - r^2$, verwendet werden. Wie auf Seite [*] diskutiert, kann man in der zweidimensionalen Achse durch $ p$ zu gegebenen Schichten mit konstantem $ r$ eine weitere Koordinate $ t$ einführen, so daß die Metrik $ g_{ij}(u) du^i du^j$ dort, wo die Fläche $ r=$konst nicht lichtartig ist, blockdiagonal wird. Dort hat die Metrik die Form

$\displaystyle g_{kl}(x){dx^k}{dx^l}= g_{tt}(t,r) (dt)^2 + g_{rr}(t,r)(dr)^2 -r^2 (d\theta)^2-r^2\sin^2\theta (d\varphi)^2\ ,$ (14.22)

die wir als Ansatz zur Berechnung der Schwarzschildlösung verwenden.




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