Mannigfaltigkeiten mit Drehsymmetrie

Wenn eine Mannigfaltigkeit Drehungen als Isometrien zuläßt, so erzeugen sie wie jede kontinuierliche Gruppe $G$, angewendet auf einen Punkt $p$, den Orbit $O_p= G/H_p$, wobei $G=\mathrm{SO}(3)$ ist und $H_p$ die Untergruppe derjenigen Transformationen ist, die $p$ invariant lassen (B.23). Wir unterstellen, daß in einer Umgebung $U$, die wir betrachten, die Orbits zweidimensionale Kugelschalen $\mathrm{SO}(3)/\mathrm{SO}(2)= S^2$ sind.

Die infinitesimalen Drehungen definieren an jedem Punkt $p\in U$ den von den Killingvektoren aufgespannten Tangentialraum $T_{p}^O$ an die Kugelschalen sowie den Raum der dazu senkrechten Tangentialvektoren $T_{p}^\perp$. Die Räume $T_{p}^O$ und $T_{p}^\perp$ enthalten keinen gemeinsamen, von 0 verschiedenen, lichtartigen Vektor, denn die Kugelschalen sind maximal symmetrisch und haben eine definite Metrik.^14.1

Da die Dimension der Stabilitätsgruppe $H_q$ von Punkten $q$ in der Umgebung $U$ konstant ist, läßt $H_p$, wie wir zunächst zeigen wollen, jeden Vektor $v\in T_p^\perp$ invariant.

Betrachten wir dazu die zu $\mathrm{SO}(3)$ gehörigen Killingfelder in einer Umgebung von $p$. Die Stabilitätsgruppe von $p$ wird von einem Feld $f=f^m \partial_m$ erzeugt, das bei $p$ verschwindet, dessen Komponenten also von der Form $f^m= - M^m{}_n x^n$ sind, wenn wir $p$ die Koordinaten $x=0$ geben und uns auf die niedrigste Ordnung in $x$ beschränken.

Die von $f$ erzeugte Transformation bildet den Tangentialraum des Orbits $T_p^O$ auf sich ab, denn er wird von den zu $G=\mathrm{SO}(3)$ gehörigen Tangentialvektorfeldern $t$ aufgespannt, die eine Liealgebra bilden, und $\delta t = [f,t]$ ist wieder ein zu $G$ gehöriges Killingfeld.

Da die Stabilitätsgruppe aus Isometrien besteht und $T_p^O$ auf sich abbildet, bildet sie auch den zu $T_p^O$ senkrechten Raum $T_p^\perp$ auf sich ab, denn sie läßt Skalarprodukte invariant.

Da in der Umgebung $U$ die Dimension der Stabilitätsgruppe konstant ist, ist einschränkender jeder Vektor $v\in T_p^\perp$ invariant unter der Stabilitätsgruppe. Denn dann gibt es an jedem Punkt $x$ in dieser Umgebung eine Linearkombination $f + \varepsilon^a t_a$ der zu $\mathrm{SO}(3)$ gehörigen Killingfelder, die bei $x$ verschwindet und die Stabilitätsgruppe erzeugt

$$0 = - M^m{}_n x^n + \varepsilon^a t_a^m + O(x^2)\ .$$ (14.18)

Hierbei ist $\varepsilon^a$ linear in $x$ und $t_a^m$ sind die Komponenten von $t_a$ bei $x=0$, wo sie $T_p^O$ aufspannen. Diese Gleichung kann aber für $x^n = v^n$, $v\in T_p^\perp$, nur gelten, wenn $v$ invariant unter der Stabilitätsgruppe ist

$$M^m{}_n v^n = 0 \quad \forall v \in T_p^\perp\ ,$$ (14.19)

denn $M^m{}_n v^n=\delta v^m$ ist aus $T_p^\perp$ und nur in $T_p^O$, wenn es verschwindet. Also läßt, wie behauptet, die Stabilitätsgruppe $H_p$ jeden Vektor in $T_p^\perp$ invariant.

Da die Stabilitätsgruppe $H_p$ keinen Tangentialvektor an den Orbit $\mathrm{SO}(3)/\mathrm{SO}(2)$ invariant läßt, ist ein Vektor genau dann aus $T_p^\perp$, wenn er unter $H_p$ invariant ist.

Die Menge $O_p^{\perp}$ der Punkte $q$ auf geodätischen Linien, die in $p$ den Orbit senkrecht schneiden, nennen wir die Achse durch $p$. Da die Isometrien der Stabilitätsgruppe $H_p$ geodätische Linien auf geodätische abbilden und weil $H_p$ den Punkt $p$ und die Vektoren aus $T_p^\perp$ invariant läßt, ist jeder Punkt $q$ auf der Achse durch $p$ invariant unter $H_p$. Denn jeder solcher Punkt $q$ ist durch die Geodätengleichung, den Anfangspunkt $p$ und den Tangentialvektor $v$ festgelegt

$$\frac{d^2 x^m}{dt^2}+ \Gamma_{kl}{}^m \frac{dx^k}{dt}\frac{dx^l}{... ...uad x^m(0)=0,\quad \frac{dx^m}{dt}(0) = v^m,\quad v^m \leftrightarrow x^m(1)\ .$$ (14.20)

Die Punkte auf der Achse durch $p$, die zu Tangentialvektoren aus einer Umgebung von $v=0$ gehören, nennen wir einen Achsenabschnitt. Bei genügend kleinen Abschnitten ist die Abbildung von Tangentialvektor $v$ auf den Achsenpunkt $q$ mit Koordinaten $x^m(1)$ umkehrbar.

Da die Dimension der Stabilitätsgruppe in der betrachteten Umgebung $U$ von $p$ konstant ist, ist für alle Punkte $q\in U$ auf der Achse durch $p$ wegen $H_p\subset H_q$ die Stabilitätsgruppe gleich $H_q = H_p$.

Da die Punkte auf der Achse invariant unter $H_p$ sind, sind es auch die Tangentialvektoren an Kurven, die in der Achse verlaufen. Die Tangentialvektoren an die Achse stehen daher in jedem Achsenpunkt $q\in O_p^\perp$ senkrecht auf $T_q^O$, denn sie sind invariant unter $H_q$. Die Achse durch $p$ schneidet überall die Kugelschalen senkrecht [69].

Auf einen Achsenabschnitt angewendet erzeugen $\mathrm{SO}(3)$-Transformationen eine vierdimensionale Mannigfaltigkeit, die aus Kugelschalen besteht. Diese Kugelschalen schneiden den Abschnitt genau einmal, wenn er genügend klein gewählt ist.

Jeder Punkt $r$ in einer genügend kleinen Umgebung von $p$ läßt sich daher als $g(q)$ schreiben, wobei $q= O_r \cap O_p^\perp$ der eindeutige Schnittpunkt des Orbits durch $r$ mit der Achse durch $p$ ist und $g\in \mathrm{SO}(3)$ eindeutig bis auf eine Stabilitätstransformation $h\in H_p=H_q$ ist, $g^\prime(q)= g(q) \Leftrightarrow g^{\prime\, -1} g = h \in H_q$.

Verwenden wir in der vierdimensionalen Raumzeit für die Achse $O_p^\perp$ Koordinaten $u^i$, $i=0,1$, und Kugelkoordinaten $\theta$ und $\varphi$ für $\mathrm{SO}(3)/\mathrm{SO}(2)$, so hat die Metrik in der Umgebung $U$ die Form

$$g_{mn}dx^mdx^n = g_{ij}(u) du^i du^j + k(u)(d\theta^2 + \sin^2 \theta d\varphi^2 ).$$ (14.21)

Denn jeder Orbit ist eine maximal symmetrische Kugelschale und die Metrik auf jeder Kugelschale liegt daher bis auf einen Vorfaktor $k(u)$ fest, der von Orbit zu Orbit verschieden sein kann. Das Längenquadrat $g_{ij}(u) du^i du^j$ von Tangentialvektoren an die Achse durch $p$ ist nicht weiter eingeschränkt. Tangentialvektoren an $T_q^\perp$ stehen in allen Punkten $q$ der Achse durch $p$ senkrecht auf den Orbits. Daher treten keine Mischterme $d\theta du$ und $d\varphi du$ auf. Die Isometrien $g\in \mathrm{SO}(3)$ lassen die Skalarprodukte und die Koordinaten $u^i$, $i=0,1$, invariant und verschleppen die Tangentialvektoren an die Achse durch $p$ in Tangentialvektoren mit gleichen Komponenten am Punkt $g(p)$. Daher hat die Metrik nicht nur auf der Achse durch $p$, sondern überall in $U$ die angegebene Form.

Da die Raumzeit die Signatur $-2$ hat, ist der Faktor $k(u)$ negativ und kann dort, wo seine Ableitung nicht verschwindet, zur Definition der Koordinate $r$, $k(u)= - r^2$, verwendet werden. Wie auf Seite diskutiert, kann man in der zweidimensionalen Achse durch $p$ zu gegebenen Schichten mit konstantem $r$ eine weitere Koordinate $t$ einführen, so daß die Metrik $g_{ij}(u) du^i du^j$ dort, wo die Fläche $r=$konst nicht lichtartig ist, blockdiagonal wird. Dort hat die Metrik die Form

$$g_{kl}(x){dx^k}{dx^l}= g_{tt}(t,r) (dt)^2 + g_{rr}(t,r)(dr)^2 -r^2 (d\theta)^2-r^2\sin^2\theta (d\varphi)^2\ ,$$ (14.22)

die wir als Ansatz zur Berechnung der Schwarzschildlösung verwenden.