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Der de Sitter-Raum

Ein de Sitter-Raum ist eine Fläche von Punkten $ (t,\vec{x},w)$,

$\displaystyle t^2 - \vec{x}^{\,2} - w^2 = -\alpha^2 \ ,\quad \alpha=$konst$\displaystyle \ ,$ (14.23)

im flachen fünfdimensionalen Raum $ \mathbb{R}^{1,4}$. Er hat die Topologie $ \mathbb{R}\times S^3$, denn für jedes $ t\in \mathbb{R}$ bilden die Lösungen $ (\vec{x},w)$ von $ \vec{x}^{\,2} + w^2= \alpha^2 + t^2$ eine Kugelschale $ S^3$. Insbesondere sind die Schichten gleicher Zeit, $ t=$konst, kompakt.

Lorentztransformationen SO$ (1,4)$ des einbettenden Raumes $ \mathbb{R}^{1,4}$ bilden den de Sitter-Raum isometrisch auf sich ab; er ist maximal symmetrisch und konform flach, allerdings nicht maximal konform symmetrisch, da der konforme Faktor bei Abbildung auf $ \mathbb{R}\times S^3$ mit Standardmetrik nicht nullstellenfrei ist.

Die Koordinaten $ (t^\prime,\vec{x}^{\,\prime})$

$\displaystyle t = \frac{\alpha}{2}(\vec{x}^{\,\prime\, 2}+1)\,\mathrm{e}^{t^\pr...
...e\, 2}-1)\,\mathrm{e}^{t^\prime} - \frac{\alpha}{2} \,\mathrm{e}^{-t^\prime}\ ,$ (14.24)

überdecken die Hälfte, $ t>w$, des de Sitter-Raumes. Für die Differentiale gilt

\begin{displaymath}\begin{split}dt &= \frac{\alpha}{2}\bigl ( (\vec{x}^{\,\prime...
...ime} \vec{x}^{\,\prime}\cdot d\vec{x}^{\,\prime}\ . \end{split}\end{displaymath} (14.25)

Daher hat das Längenquadrat $ (dt)^2 -(d\vec{x})^2 -(dw)^2$ die Form

$\displaystyle g_{mn}dx^mdx^n= \alpha^2(dt^{\prime})^2 - \alpha^2\mathrm{e}^{2 t...
...^2 - \exp{\bigl (2 \frac{\bar{t}}{\alpha}\bigr )}\, (d\vec{x}^{\,\prime})^2 \ .$ (14.26)

Die Schichten gleicher Zeit $ \bar{t}=\alpha(t^\prime+\ln \alpha)$ sind der $ {\mathbb{R}}^3$ mit seiner flachen Metrik. Ob in einer Raumzeit Schichten gleicher Zeit kompakt sind, ist, wie der de Sitter-Raum zeigt, auch eine Eigenschaft der Schichtung und nicht allein der Raumzeit.

Die Koordinaten $ (\bar{t},\vec{x}^\prime)$ sind ein synchronisiertes Bezugssystem (F.11) für eine Hälfte, $ t>w$, des de Sitter-Raumes. Teilchen, die in diesem Bezugssystem ruhen, durchlaufen geodätische Weltlinien. Ihre Abstände wachsen exponentiell mit der Zeit.

Im Koordinatensystem $ (\hat{t},r,\theta,\varphi)$

$\displaystyle t=\sqrt{\alpha^2-\vec{x}^{\,2}}\sinh \frac{\hat{t}}{\alpha}\ ,\quad w=-\sqrt{\alpha^2-\vec{x}^{\,2}}\cosh \frac{\hat{t}}{\alpha}\ ,$ (14.27)

wobei $ \vec{x}=r(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)$ mit $ r\le \alpha$ durch Kugelkoordinaten (2.26) gegeben ist, hat das Längenquadrat $ (dt)^2 -(dw)^2 - (d\vec{x})^2$ wegen

\begin{displaymath}\begin{split}dt &= - \frac{\vec{x}d\vec{x}}{\sqrt{\alpha^2-\v...
...hat{t}}{\alpha}\bigr )\, \frac{d\hat{t}}{\alpha}\ , \end{split}\end{displaymath} (14.28)

und $ \vec{x}d\vec{x}=rdr$ und $ (d\vec{x})^2=(dr)^2 + r^2 (d\theta)^2+r^2\sin^2\theta (d\varphi)^2$ die Form

$\displaystyle g_{mn}dx^mdx^n=(1-\frac{r^2}{\alpha^2})\,(d\hat{t})^2 - \frac{(dr)^2}{1-\frac{r^2}{\alpha^2}} -r^2 (d\theta)^2-r^2\sin^2\theta\, (d\varphi)^2\ .$ (14.29)

Die $ (\hat{t},r,\theta,\varphi)$-Koordinaten überdecken nur den Bereich $ w<-\vert t\vert$ des de Sitter-Raumes. Durchläuft $ r$ bei konstantem $ \theta$ und $ \varphi$ für $ \hat{t}=0$ die Werte zwischen $ r=0$ und $ r=\alpha$, so durchlaufen die $ (t,\vec{x},w)$-Punkte einen Viertelkreis in $ \mathbb{R}^{1,4}$.

Abbildung F.1: stereographische Projektion
\begin{wrapfigure}{l}{40mm}
\special{em:linewidth 0.4pt}\setlength{\unitlength...
...$w$}}
\put(55.,75.00){\makebox(0,0)[ct]{$\alpha$}}
\end{picture}\end{wrapfigure}
Wie jeder maximal symmetrische Raum ist der de Sitter-Raum konform flach. In einer Umgebung eines jeden Punktes $ p$, dem wir durch Wahl des Bezugssystems in $ \mathbb{R}^{1,4}$ die Koordinaten $ (t,\vec{x},w)=(0,0,\alpha)$ geben, können wir durch stereographische Projektion, angepaßt an die Signatur der vorliegenden Metrik, Koordinaten $ y^m$, $ m=0,1,2,3,$ einführen

$\displaystyle x^m=2\alpha \frac{y^m}{1-y^2}\ ,\ w=\alpha\frac{1+y^2}{1-y^2}\ ,$ (14.30)

mit $ x^0 = t$ und $ y^2=y\cdot y=(y^0)^2-(y^1)^2 - (y^2)^2 -(y^{3})^2$. Wegen

$\displaystyle dx^m = \frac{2\alpha}{1-y^2}dy^m +4\alpha y^m\frac{y\cdot dy}{(1-y^2)^2}\ ,\quad dw=4\alpha\frac{y\cdot dy}{(1-y^2)^2}\ ,$    

stimmt das Längenquadrat $ (dt)^2 -(d\vec{x})^2 -(dw)^2$ bis auf einen konformen Faktor mit der flachen Metrik überein

$\displaystyle g_{kl}dx^mdx^n = \frac{4\alpha^2}{(1-y^2)^2}\,dy\cdot dy\ .$ (14.31)




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