Der de Sitter-Raum

Ein de Sitter-Raum ist eine Fläche von Punkten $(t,\vec{x},w)$,

$$t^2 - \vec{x}^{\,2} - w^2 = -\alpha^2 \ ,\quad \alpha= \ ,$$ (14.23)

im flachen fünfdimensionalen Raum $\mathbb{R}^{1,4}$. Er hat die Topologie $\mathbb{R}\times S^3$, denn für jedes $t\in \mathbb{R}$ bilden die Lösungen $(\vec{x},w)$ von $\vec{x}^{\,2} + w^2= \alpha^2 + t^2$ eine Kugelschale $S^3$. Insbesondere sind die Schichten gleicher Zeit, $t=$konst, kompakt.

Lorentztransformationen SO$(1,4)$ des einbettenden Raumes $\mathbb{R}^{1,4}$ bilden den de Sitter-Raum isometrisch auf sich ab; er ist maximal symmetrisch und konform flach, allerdings nicht maximal konform symmetrisch, da der konforme Faktor bei Abbildung auf $\mathbb{R}\times S^3$ mit Standardmetrik nicht nullstellenfrei ist.

Die Koordinaten $(t^\prime,\vec{x}^{\,\prime})$

$$t = \frac{\alpha}{2}(\vec{x}^{\,\prime\, 2}+1)\,\mathrm{e}^{t^\pr... ...e\, 2}-1)\,\mathrm{e}^{t^\prime} - \frac{\alpha}{2} \,\mathrm{e}^{-t^\prime}\ ,$$ (14.24)

überdecken die Hälfte, $t>w$, des de Sitter-Raumes. Für die Differentiale gilt

$$\begin{split}dt &= \frac{\alpha}{2}\bigl ( (\vec{x}^{\,\prime... ...ime} \vec{x}^{\,\prime}\cdot d\vec{x}^{\,\prime}\ . \end{split}$$ (14.25)

Daher hat das Längenquadrat $(dt)^2 -(d\vec{x})^2 -(dw)^2$ die Form

$$g_{mn}dx^mdx^n= \alpha^2(dt^{\prime})^2 - \alpha^2\mathrm{e}^{2 t... ...^2 - \exp{\bigl (2 \frac{\bar{t}}{\alpha}\bigr )}\, (d\vec{x}^{\,\prime})^2 \ .$$ (14.26)

Die Schichten gleicher Zeit $\bar{t}=\alpha(t^\prime+\ln \alpha)$ sind der ${\mathbb{R}}^3$ mit seiner flachen Metrik. Ob in einer Raumzeit Schichten gleicher Zeit kompakt sind, ist, wie der de Sitter-Raum zeigt, auch eine Eigenschaft der Schichtung und nicht allein der Raumzeit.

Die Koordinaten $(\bar{t},\vec{x}^\prime)$ sind ein synchronisiertes Bezugssystem (F.11) für eine Hälfte, $t>w$, des de Sitter-Raumes. Teilchen, die in diesem Bezugssystem ruhen, durchlaufen geodätische Weltlinien. Ihre Abstände wachsen exponentiell mit der Zeit.

Im Koordinatensystem $(\hat{t},r,\theta,\varphi)$

$$t=\sqrt{\alpha^2-\vec{x}^{\,2}}\sinh \frac{\hat{t}}{\alpha}\ ,\quad w=-\sqrt{\alpha^2-\vec{x}^{\,2}}\cosh \frac{\hat{t}}{\alpha}\ ,$$ (14.27)

wobei $\vec{x}=r(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)$ mit $r\le \alpha$ durch Kugelkoordinaten (2.26) gegeben ist, hat das Längenquadrat $(dt)^2 -(dw)^2 - (d\vec{x})^2$ wegen

$$\begin{split}dt &= - \frac{\vec{x}d\vec{x}}{\sqrt{\alpha^2-\v... ...hat{t}}{\alpha}\bigr )\, \frac{d\hat{t}}{\alpha}\ , \end{split}$$ (14.28)

und $\vec{x}d\vec{x}=rdr$ und $(d\vec{x})^2=(dr)^2 + r^2 (d\theta)^2+r^2\sin^2\theta (d\varphi)^2$ die Form

$$g_{mn}dx^mdx^n=(1-\frac{r^2}{\alpha^2})\,(d\hat{t})^2 - \frac{(dr)^2}{1-\frac{r^2}{\alpha^2}} -r^2 (d\theta)^2-r^2\sin^2\theta\, (d\varphi)^2\ .$$ (14.29)

Die $(\hat{t},r,\theta,\varphi)$-Koordinaten überdecken nur den Bereich $w<-\vert t\vert$ des de Sitter-Raumes. Durchläuft $r$ bei konstantem $\theta$ und $\varphi$ für $\hat{t}=0$ die Werte zwischen $r=0$ und $r=\alpha$, so durchlaufen die $(t,\vec{x},w)$-Punkte einen Viertelkreis in $\mathbb{R}^{1,4}$.

Abbildung F.1: stereographische Projektion

Wie jeder maximal symmetrische Raum ist der de Sitter-Raum konform flach. In einer Umgebung eines jeden Punktes $p$, dem wir durch Wahl des Bezugssystems in $\mathbb{R}^{1,4}$ die Koordinaten $(t,\vec{x},w)=(0,0,\alpha)$ geben, können wir durch stereographische Projektion, angepaßt an die Signatur der vorliegenden Metrik, Koordinaten $y^m$, $m=0,1,2,3,$ einführen

$$x^m=2\alpha \frac{y^m}{1-y^2}\ ,\ w=\alpha\frac{1+y^2}{1-y^2}\ ,$$ (14.30)

mit $x^0 = t$ und $y^2=y\cdot y=(y^0)^2-(y^1)^2 - (y^2)^2 -(y^{3})^2$. Wegen

$$dx^m = \frac{2\alpha}{1-y^2}dy^m +4\alpha y^m\frac{y\cdot dy}{(1-y^2)^2}\ ,\quad dw=4\alpha\frac{y\cdot dy}{(1-y^2)^2}\ ,$$

stimmt das Längenquadrat $(dt)^2 -(d\vec{x})^2 -(dw)^2$ bis auf einen konformen Faktor mit der flachen Metrik überein

$$g_{kl}dx^mdx^n = \frac{4\alpha^2}{(1-y^2)^2}\,dy\cdot dy\ .$$ (14.31)