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Abwälzen von Ableitungen

Die Abkürzung $ \mathrm{d}$ stehe für die Ableitung $ \frac{d}{dt}$ oder jede andere Ableitung, die der Produktregel genügt. Wegen

$\displaystyle u \,\bigl (\mathrm{d}v\bigr ) = \mathrm{d}\bigl(u\,v\bigr) - \bigl(\mathrm{d}u\bigr)\,v$ (15.1)

können in Produkten $ u\, (\mathrm{d}^n v)$ die Ableitungen, die auf $ v$ wirken, bis auf vollständige Ableitungen auf $ u$ abgewälzt werden

$\displaystyle u \,\bigl (\mathrm{d}^n v\bigr ) = \mathrm{d}\,\bigl (\sum_{k=0}^...
...mathrm{d}^{n-k-1}v\bigr )\bigr ) + \bigl ( (-1)^n \mathrm{d}^n u\bigr )\, v \ .$ (15.2)

Die Wirkung jedes Differentialoperators $ D=\sum_n f_n \mathrm{d}^n $ mit irgendwelchen Koeffizientenfunktionen $ f_n$ und $ n$-fachen Ableitungen $ \mathrm{d}^n$ auf $ v$ können wir schreiben als Summe einer vollständigen Ableitung einer Größe $ X_{D,\,v}$ und eines Produktes, das $ v$ ohne Ableitung als Faktor enthält

$\displaystyle D v$ $\displaystyle =\sum_n f_n \mathrm{d}^n v = \mathrm{d}\, X_{D,\,v} + Y_D\, v\ ,$ (15.3)
$\displaystyle X_{D,\,v}$ $\displaystyle = \sum_{k,l}\bigl ( (-1)^k \mathrm{d}^k f_{k+l+1}\bigr ) \bigl (\mathrm{d}^{l}v\bigr )\ ,$ (15.4)
$\displaystyle Y_D$ $\displaystyle = \sum_n (-1)^n (\mathrm{d}^n f_n) \ .$ (15.5)

Die Relation macht nur Gebrauch davon, daß der Differentialoperator $ \mathrm{d}$ der Produktregel genügt und gilt unabhängig davon, was $ f_n$ oder $ v$ ist, oder ob $ \mathrm{d}$ für die Zeitableitung oder für irgendeine andere Ableitung steht.

Die infinitesimale Änderung einer Lagrangefunktion $ \mathscr{L}(x,\dot{x},\ddot{x},\dots,t)$ kann als Differentialoperator gelesen werden, der auf $ \delta x$ wirkt

\begin{displaymath}\begin{split}\delta \mathscr{L}= \mathscr{L}(x+\delta x,\dot{...
...partial \mathscr{L}}{\partial \ddot{x}} + \dots \ . \end{split}\end{displaymath} (15.6)

Wälzen wir die Ableitung von $ \delta x$ ab und schreiben wir $ \delta \mathscr{L}$ als Summe einer vollständigen Ableitung und eines Produktes, das $ \delta x$ als Faktor enthält, so definiert der Koeffizient bei $ \delta x$ die Eulerableitung der Lagrangefunktion $ \mathscr{L}$

$\displaystyle \delta \mathscr{L}$ $\displaystyle = \delta x \frac{\hat{\partial}\mathscr{L}}{\hat{\partial}x} + \frac{d}{dt} Z_{\mathscr{L},\delta x}\ ,$ (15.7)
$\displaystyle Z_{\mathscr{L},\delta x}$ $\displaystyle = \sum_{k,l}(-1)^k\bigl ( \frac{d^k}{dt^k} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial x_{(k+l+1)}}\bigr ) \frac{d^{\,l}}{dt^l} \delta x\ ,$ (15.8)
$\displaystyle \frac{\hat{\partial}\mathscr{L}}{\hat{\partial}x}$ $\displaystyle = \sum_n (-1)^n\frac{d^n}{dt^n}\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial x_{(n)}}\ .$ (15.9)

Dabei haben wir die Notation $ x_{(n)}=\frac{d^n x}{dt^n}$ für die Jet-Variablen verwendet.

Die Eulerableitung verschwindet genau dann identisch in den Jet-Variablen, wenn die Lagrangefunktion eine Ableitung ist (G.65).

Multipliziert man $ Dv$ mit einer Funktion $ u$, so definiert das Abwälzen der Ableitungen von $ v$ auf $ u$ den transponierten Differentialoperator $ D^{\text{T}}$

$\displaystyle u D v$ $\displaystyle =u\sum_n f_n \mathrm{d}^n v = \mathrm{d}\, X_{u,D,v} +(D^{\text{T}}(u))\, v\ ,$ (15.10)
$\displaystyle X_{u,D,v}$ $\displaystyle = \sum_{k,l}\bigl ( (-1)^k \mathrm{d}^k (f_{k+l+1} u)\bigr ) \bigl (\mathrm{d}^{l}v\bigr )\ ,$ (15.11)
$\displaystyle D^{\text{T}} u$ $\displaystyle = \sum_n (-1)^n \mathrm{d}^n (f_n u)\ ,$ (15.12)
$\displaystyle D^{\text{T}}$ $\displaystyle = \sum_k\bigl (\sum_{l}(-1)^{k+l} (\mathrm{d}^l f_{k+l} )\bigr ) \mathrm{d}^k \ .$ (15.13)

Der transponierte Operator $ D^{\text{T}}$ hängt linear von $ D$ ab. Wenn wir seine Koeffizientenfunktionen komplex konjugieren, erhalten wir den adjungierten Operator $ D^{\dagger}=(D^{\text{T}})^*$. $ u$ und $ v$ treten in der algebraischen Identität (G.10) bilinear wie in einem Skalarprodukt auf, ohne daß es sich bei ihnen um Vektoren eines Hilbertraums handeln muß.




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