Abwälzen von Ableitungen

Die Abkürzung $\mathrm{d}$ stehe für die Ableitung $\frac{d}{dt}$ oder jede andere Ableitung, die der Produktregel genügt. Wegen

$$u \,\bigl (\mathrm{d}v\bigr ) = \mathrm{d}\bigl(u\,v\bigr) - \bigl(\mathrm{d}u\bigr)\,v$$ (15.1)

können in Produkten $u\, (\mathrm{d}^n v)$ die Ableitungen, die auf $v$ wirken, bis auf vollständige Ableitungen auf $u$ abgewälzt werden

$$u \,\bigl (\mathrm{d}^n v\bigr ) = \mathrm{d}\,\bigl (\sum_{k=0}^... ...mathrm{d}^{n-k-1}v\bigr )\bigr ) + \bigl ( (-1)^n \mathrm{d}^n u\bigr )\, v \ .$$ (15.2)

Die Wirkung jedes Differentialoperators $D=\sum_n f_n \mathrm{d}^n$ mit irgendwelchen Koeffizientenfunktionen $f_n$ und $n$-fachen Ableitungen $\mathrm{d}^n$ auf $v$ können wir schreiben als Summe einer vollständigen Ableitung einer Größe $X_{D,\,v}$ und eines Produktes, das $v$ ohne Ableitung als Faktor enthält

$$D v =\sum_n f_n \mathrm{d}^n v = \mathrm{d}\, X_{D,\,v} + Y_D\, v\ ,$$ (15.3)

$$X_{D,\,v} = \sum_{k,l}\bigl ( (-1)^k \mathrm{d}^k f_{k+l+1}\bigr ) \bigl (\mathrm{d}^{l}v\bigr )\ ,$$ (15.4)

$$Y_D = \sum_n (-1)^n (\mathrm{d}^n f_n) \ .$$ (15.5)

Die Relation macht nur Gebrauch davon, daß der Differentialoperator $\mathrm{d}$ der Produktregel genügt und gilt unabhängig davon, was $f_n$ oder $v$ ist, oder ob $\mathrm{d}$ für die Zeitableitung oder für irgendeine andere Ableitung steht.

Die infinitesimale Änderung einer Lagrangefunktion $\mathscr{L}(x,\dot{x},\ddot{x},\dots,t)$ kann als Differentialoperator gelesen werden, der auf $\delta x$ wirkt

$$\begin{split}\delta \mathscr{L}= \mathscr{L}(x+\delta x,\dot{... ...partial \mathscr{L}}{\partial \ddot{x}} + \dots \ . \end{split}$$ (15.6)

Wälzen wir die Ableitung von $\delta x$ ab und schreiben wir $\delta \mathscr{L}$ als Summe einer vollständigen Ableitung und eines Produktes, das $\delta x$ als Faktor enthält, so definiert der Koeffizient bei $\delta x$ die Eulerableitung der Lagrangefunktion $\mathscr{L}$

$$\delta \mathscr{L} = \delta x \frac{\hat{\partial}\mathscr{L}}{\hat{\partial}x} + \frac{d}{dt} Z_{\mathscr{L},\delta x}\ ,$$ (15.7)

$$Z_{\mathscr{L},\delta x} = \sum_{k,l}(-1)^k\bigl ( \frac{d^k}{dt^k} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial x_{(k+l+1)}}\bigr ) \frac{d^{\,l}}{dt^l} \delta x\ ,$$ (15.8)

$$\frac{\hat{\partial}\mathscr{L}}{\hat{\partial}x} = \sum_n (-1)^n\frac{d^n}{dt^n}\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial x_{(n)}}\ .$$ (15.9)

Dabei haben wir die Notation $x_{(n)}=\frac{d^n x}{dt^n}$ für die Jet-Variablen verwendet.

Die Eulerableitung verschwindet genau dann identisch in den Jet-Variablen, wenn die Lagrangefunktion eine Ableitung ist (G.65).

Multipliziert man $Dv$ mit einer Funktion $u$, so definiert das Abwälzen der Ableitungen von $v$ auf $u$ den transponierten Differentialoperator $D^{\text{T}}$

$$u D v =u\sum_n f_n \mathrm{d}^n v = \mathrm{d}\, X_{u,D,v} +(D^{\text{T}}(u))\, v\ ,$$ (15.10)

$$X_{u,D,v} = \sum_{k,l}\bigl ( (-1)^k \mathrm{d}^k (f_{k+l+1} u)\bigr ) \bigl (\mathrm{d}^{l}v\bigr )\ ,$$ (15.11)

$$D^{\text{T}} u = \sum_n (-1)^n \mathrm{d}^n (f_n u)\ ,$$ (15.12)

$$D^{\text{T}} = \sum_k\bigl (\sum_{l}(-1)^{k+l} (\mathrm{d}^l f_{k+l} )\bigr ) \mathrm{d}^k \ .$$ (15.13)

Der transponierte Operator $D^{\text{T}}$ hängt linear von $D$ ab. Wenn wir seine Koeffizientenfunktionen komplex konjugieren, erhalten wir den adjungierten Operator $D^{\dagger}=(D^{\text{T}})^*$. $u$ und $v$ treten in der algebraischen Identität (G.10) bilinear wie in einem Skalarprodukt auf, ohne daß es sich bei ihnen um Vektoren eines Hilbertraums handeln muß.