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Symmetrie und erhaltene Ströme

Wir betrachten eine einparametrige Gruppe $ T_\alpha$ von Transformationen, die Felder $ \phi_l$ auf Felder abbilden und die so parametrisiert sei, daß $ T_\alpha\circ T_\beta=T_{\alpha+\beta}$ gilt und folglich $ T_0$ zur identischen Abbildung gehört. Als infinitesimale Transformation oder Änderung $ \delta \phi_l(x)$ bezeichnen wir die Ableitung der Transformation bei $ \alpha = 0$

$\displaystyle \delta \phi_l(x)=\frac{d}{d\alpha}T_\alpha \phi_l(x)_{{\bigr \vert}_{\alpha=0}} \ .$ (15.14)

Wir nennen eine Transformation lokal, wenn $ \delta \phi_l(x)$ nur von den Koordinaten $ x$ und den Jet-Variablen, den Feldern $ \phi_n(x)$ und endlich vielen ihrer Ableitungen $ \partial_{m_1}\dots\partial_{m_r}\phi_n(x)$, an diesem Punkt, nicht aber von $ \phi_n(y)$ oder seinen Ableitungen an einem anderen Punkt $ y\ne x$ abhängt.

Die Wirkung $ W[T_{\alpha} \phi]$ ändert sich nach Definition der Variationsableitung (5.118) bis auf Randterme um

$\displaystyle \delta W = \int\! d^4 x\, \delta \phi_l(x) \frac{\delta W}{\delta \phi_l(x)}\ .$ (15.15)

Die Transformation $ T_\alpha$ heißt Symmetrie der Wirkung $ W[\phi]$, wenn sich die Wirkung nur um Randterme ändert, das heißt genauer [31], wenn sich der Integrand in (G.15) identisch in den Jet-Variablen als Summe von Ableitungen schreiben läßt

$\displaystyle \delta \phi_l \frac{\delta W}{\delta \phi_l} + \partial_m j^m = 0\ .$ (15.16)

Physikalische Felder erfüllen $ \frac{\delta W}{\delta \phi_l}=0$, demnach gehört zu jeder Symmetrie der Wirkung ein Strom $ j^m$, der die Kontinuitätsgleichung erfüllt, falls die Felder die Bewegungsgleichungen erfüllen!

Da nach dem algebraischen Poincaré-Lemma (G.62), dessen Beweis wir an das Ende dieses Kapitels verschieben, die Identität $ \partial_m J^m=0$ für Funktionen $ J^m$ der Jet-Variablen genau dann gilt, wenn die Funktionen $ J^m=\partial_n B^{nm}$ die Ableitung beliebiger, unter Vertauschung der Indizes antisymmetrischer Funktionen $ B^{mn}$ der Jet-Variablen sind,

$\displaystyle \partial_m J^m = 0 \Leftrightarrow J^m=\partial_n B^{nm}\ ,\ B^{mn}=-B^{nm}\ ,$ (15.17)

ist der zur Symmetrie gehörige Strom eindeutig bis auf einen trivialen Strom

$\displaystyle j^m_{\text{trivial}} = \partial_n B^{mn}\ ,\ B^{mn}=-B^{nm}\ .$ (15.18)

Jeder triviale Strom erfüllt die Kontinuitätsgleichung unabhängig davon, welchen Gleichungen die Felder genügen, aus denen $ B^{mn}$ zusammengesetzt ist. Die zugehörige Ladung $ Q_V$ in einem Volumen $ V$ hängt nur von $ B^{0i}$ auf dem Rand $ \partial V$ des Volumens $ V$ ab, $ Q_V=\int_V d^3x j^0=\int_{\partial V}df^i B^{0i}$, und ändert sich nicht bei beliebigen, stetigen Abänderungen der Felder, wenn sie auf das Innere von $ V$ beschränkt bleiben. Solch eine Ladung heißt topologisch, weil sie unabhängig von stetigen Veränderungen der Felder im Inneren ist.

Die Lagrangedichte $ \mathscr{L}$ einer lokalen Wirkung bleibt unter jeder infinitesimalen Symmetrietransformation wegen (5.126) und (5.129)

$\displaystyle \delta \mathscr{L}= \delta \phi_l \frac{\hat{\partial}{\mathscr L...
...delta W}{\delta\phi_l}= \frac{\hat{\partial}{\mathscr L}}{\hat{\partial}\phi_l}$    

bis auf vollständige Ableitungen $ \partial_m K^m$ mit $ K^m=\delta\!\phi_l \frac{\partial {\mathscr L}}{\partial (\partial_m \phi_l)}-j^m$ ungeändert

$\displaystyle \delta\mathscr{L}= \delta\!\phi_l \frac{\hat{\partial}{\mathscr L...
...\partial {\mathscr L}}{\partial (\partial_m \phi_l)} \bigr ) =\partial_m K^m\ .$ (15.19)

Der erhaltene Strom ist daher

$\displaystyle j^m = \delta\!\phi_l \frac{\partial {\mathscr L}} {\partial (\partial_m \phi_l)} - K^m +\partial_n B^{nm}\ ,\ B^{mn}=-B^{nm} \ .$ (15.20)

Der Strom ist lokal, wenn die Symmetrie lokal ist.

Bei einer lokalen Wirkung kann man für jede gegebene infinitesimale Transformation $ \delta \! \phi_l$ nach Ausrechnen von $ \delta \mathscr{L}$ leicht entscheiden, ob sie zu einer kontinuierlichen Symmetrie gehört. $ \delta \mathscr{L}$ läßt sich als Funktion der Jet-Variablen genau dann als Ableitung $ \partial_m K^m$ schreiben (G.65), wenn die Eulerableitung von $ \delta \mathscr{L}$ verschwindet.

Umgekehrt gehört zu jedem Strom, der aufgrund der Bewegungsgleichungen erhalten ist, eine Symmetrie der Wirkung. Denn Funktionen $ \overline{\jmath}^m $ der Felder und ihrer Ableitungen gehören zu einem Strom, der aufgrund der Bewegungsgleichungen erhalten ist, wenn identisch in den Jet-Variablen gilt15.1

$\displaystyle 0= \partial_m \overline{\jmath}^m + R_l \frac{\delta W}{\delta \phi_l} +R_l^m \partial_m \bigl ( \frac{\delta W}{\delta \phi_l} \bigr )\ .$ (15.21)

Die Größen $ R_l$ und $ R_l^m$ hängen auf nicht weiter festgelegte Art von den Koordinaten $ x$, den Feldern $ \phi_l(x)$ und ihren Ableitungen ab. Durch Abwälzen der Ableitung können wir diese Gleichung in die Form (G.16) bringen

$\displaystyle 0 = \partial_m ( \overline{\jmath}^m + R_l^m \frac{\delta W}{\del...
..._l}) + \bigl ( R_l - \partial_m R_l^m \bigr ) \frac{\delta W}{\delta \phi_l}\ .$ (15.22)

Zu jedem erhaltenen Strom $ \overline{\jmath}^m $ gehört also die infinitesimale Symmetrie

$\displaystyle \delta \phi_l = R_l - \partial_m R_l^m$ (15.23)

und zu dieser Symmetrie der Wirkung der Strom

$\displaystyle j^m=\overline{\jmath}^m + R_l^m \frac{\delta W}{\delta \phi_l} + \partial_n B^{nm}\ ,\ B^{mn}=-B^{nm}\ .$ (15.24)

Die Ströme $ \overline{\jmath}^m $ und $ j^m$ sind äquivalent, sie stimmen für Felder, die die Bewegungsgleichungen erfüllen, bis auf einen trivialen Strom überein.

Aus der Kontinuitätsgleichung (5.20) folgt (5.22), daß die zum erhaltenen Strom gehörige Ladung erhalten ist

$\displaystyle {Q(t)}=\int\!d^3x\, j^0(t,\vec{x})\, ,\quad \frac{d{Q}}{dt}=0\ ,$ (15.25)

wenn die Ströme $ \vec{\jmath}$ als Funktion der Felder genügend schnell abfallen und das Integrationsvolumen so groß gewählt ist, daß keine Ladung über die Randfläche strömt.

Wir fassen zusammen:

Noethertheorem der Feldtheorie 1   Zu jeder kontinuierlichen, lokalen Symmetrie der lokalen Wirkung gehört ein erhaltener, lokaler Strom (G.20) und eine Erhaltungsgröße $ Q$ (G.25). Umgekehrt gehört zu jedem lokalen, erhaltenen Strom eine kontinuierliche, lokale Symmetrie der lokalen Wirkung.

Wie in der Mechanik (4.45) ist am Noethertheorem nichts zu beweisen, man muß nur erkennen, daß eine infinitesimalen Symmetrie der Wirkung einen erhaltenen Strom definiert (G.16) und umgekehrt. Die Beziehung zwischen infinitesimaler Symmetrie und erhaltenem Strom ist linear, wobei der Strom eindeutig bis auf einen trivialen Strom und bis auf Beiträge ist, die aufgrund der Bewegungsgleichungen verschwinden. Die Nullvektoren dieser linearen Abbildung werden durch das zweite Noethertheorem (Seite [*]) charakterisiert: zu Eichsymmetrien gehören verschwindende Ströme. Verschwindet der Strom, so ist (G.16) eine Identität zwischen den Bewegungsgleichungen. Zu solch einer Identität gehört eine Eichsymmetrie.




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