Eichsymmetrien und Noetheridentitäten

Wir haben bisher infinitesimale Transformationen der Felder $\phi$ betrachtet, die sich als Linearkombination $\delta_\xi=\xi^i\delta_i$ einer Basis $\delta_i$ schreiben lassen. Dabei sind die Transformationsparameter $\xi^i$, die zum Beispiel Richtung und Größe einer Drehung oder einer Verschiebung angeben können, Komponenten eines Vektors in einem Raum mit der Dimension der Transformationsgruppe, zu jedem solchen Vektor gehört eine infinitesimale Transformation und umgekehrt.

Wir sprechen von einer infinitesimalen, lokalen Eichtransformation, wenn $\delta_\xi \phi (x)$ linear ist in einer frei wählbaren Funktion $\xi(x)$ und endlich vielen ihrer partiellen Ableitungen $\partial_{m_1}\dots\partial_{m_n} \xi(x)$. Wenn beispielsweise $\delta_\xi$ nur von höchstens den ersten Ableitungen von $\xi$ abhängt, ist die infinitesimale Eichtransformation von der Form

$$\delta_\xi \phi_l (x) = R_l\, \xi(x) + R^{m}_l\,\partial_m \xi(x)\ .$$ (15.26)

Dabei zählt $l$ die Komponenten der Felder $\phi$ ab und $R_l$ und $R_l^m$ sind Funktionen der Koordinaten $x$ und der Jet-Variablen, also der Felder $\phi(x)$ und endlich vieler partieller Ableitungen von $\phi(x)$. So gehört die Eichtransformation des Viererpotentials $\delta A_l = \partial_l \xi$ (5.61) zu $R_{l} = 0$ und $R_{l}^m = \delta ^m{}_l$.

Ist eine Wirkung $W[\phi]$ von Feldern $\phi$ unter einer infinitesimalen, lokalen Eichtransformation $\delta_\xi$ invariant, so sind die Bewegungsgleichungen nicht unabhängig voneinander und der zugehörige erhaltene Strom $j^m$ ist trivial bis auf Beiträge, die aufgrund der Bewegungsgleichungen verschwinden; zu Eichsymmetrien gehören also Identitäten der Bewegungsgleichungen und verschwindende Erhaltungsgrößen. Gelten umgekehrt zwischen den Bewegungsgleichungen Identitäten, dann ist die Wirkung eichinvariant.

Dies folgt aus der Definition (G.16) einer infinitesimalen Symmetrie [31]

$$\delta_\xi \phi_l \frac{\delta W}{\delta \phi_l} + \partial_m j^m_\xi = 0\ .$$ (15.27)

Bilden wir hiervon die Eulerableitung nach $\xi$, so verschwindet sie. Zudem verschwindet die Eulerableitung von $\partial_m j^m_\xi$, denn dies ist eine vollständige Ableitung. Folglich verschwindet die Eulerableitung des ersten Terms,

$$\frac{\hat{\partial}}{\hat{\partial}\xi} \bigl ( \delta_\xi \phi_... ...{_i}}}- \partial_m \bigl ( R^{m}_l \frac{\delta W}{\delta \phi_l} \bigr ) =0\ .$$ (15.28)

Zu jeder Eichinvarianz der Wirkung gehört eine Identität der Bewegungsgleichungen!

Wem diese Herleitung der Noetheridentität zu schnell geht, kann das Ergebnis folgendermaßen erschließen. Die Transformation $\delta_\xi \phi_l(x)$ enthält die beliebige Funktion $\xi(x)$ linear, da es sich um den Parameter einer infinitesimalen Transformation handelt, und ist daher von der Form (G.26). Wälzen wir in (G.27) die Ableitungen von $\xi$ ab^15.2

$$(R_l\, \xi + R^{m}_l\,\partial_m \xi)\frac{\delta W}{\delta \phi_... ..._l}\bigr )\bigr )+ \partial_m (\xi R^{m}_l \frac{\delta W}{\delta \phi_l} ) \ ,$$ (15.29)

so erhalten wir für beliebige Funktionen $\xi(x)$

$$\xi \bigl (R_l\frac{\delta W}{\delta \phi_l} -\partial_m \bigl ( ... ...tial_m \bigl (j^m_\xi + \xi R^{m}_l \frac{\delta W}{\delta \phi_l}\bigr )= 0\ .$$ (15.30)

Dies ist nur möglich, wenn der Faktor bei $\xi$ verschwindet, denn ist er in einer Umgebung eines Punktes positiv, so wählen wir $\xi$ außerhalb dieser Umgebung Null und innerhalb dieser Umgebung positiv und integrieren die Gleichung über die Raumzeit. Auf der linken Seite verschwindet das Integral über die Ableitungen, da die Randterme verschwinden, und das verbleibende Integral über den nichtnegativen Integranden kann nicht Null sein.

Zudem ist $j^m_\xi + \xi R^{m}_l \frac{\delta W}{\delta \phi_l}$ ein trivialer Strom (G.18), denn er erfüllt wegen (G.30) die Kontinuitätsgleichung identisch in den Jet-Variablen. Also hat der Strom $j^m_\xi$ die Form

$$j^m_\xi = - \xi R^{m}_l \frac{\delta W}{\delta \phi_l}+\partial_nB^{nm}\ ,\ B^{nm}=-B^{mn}\ ,$$ (15.31)

wobei $B^{nm}$ beliebige, unter Vertauschung der Indizes antisymmetrische Funktionen der Jet-Variablen sind. Bis auf einen trivialen Anteil, der aus Ableitungen einer antisymmetrischen Größe besteht, verschwindet der zu einer Eichsymmetrie gehörige Strom $j_\xi^m$ aufgrund der Bewegungsgleichungen.

Umgekehrt gehört zu jeder Identität der Bewegungsgleichungen

$$0= S_l \frac{\delta W}{\delta \phi_l}+ S^{m}_l \partial_m \frac{\delta W}{\delta \phi_l}\ ,$$ (15.32)

die identisch in den Jet-Variablen gilt, eine Eichsymmetrie der Wirkung und ein erhaltener Strom, der aufgrund der Bewegungsgleichungen verschwindet! Um dies zu zeigen, multiplizieren wir die Identität mit einer beliebigen Funktion $\xi$ und schreiben sie als Definition (G.27) einer Eichinvarianz

$$0=\xi\bigl ( S_l \frac{\delta W}{\delta \phi_l}+ S^{m}_l \partial... ...hi_l}+ \partial_m \bigl ( \xi S^{m}_l \frac{\delta W}{\delta \phi_l} \bigr )\ .$$ (15.33)

Damit ist das zweite Noethertheorem bewiesen.

Zweites Noethertheorem 2   Zu jeder Eichsymmetrie der Wirkung gehört eine Identität zwischen den Bewegungsgleichungen und umgekehrt. Die zur Eichsymmetrie gehörende Ladung $Q$ verschwindet aufgrund der Bewegungsgleichungen bis auf topologische Beiträge, die unabhängig von Änderungen der Felder in beschränkten Gebieten sind.