Doppelte Noetheridentität

Ist die Wirkung wie in (5.116) die Summe einer eichinvarianten Wirkung für Felder $A_k$, die wir Eichfelder nennen, und einer zweiten, ebenfalls eichinvarianten Wirkung, die die Felder $A_k$ an weitere Felder $\phi_i$, die wir Materiefelder nennen, koppelt

$$W[A,\phi]= W_{\text{Eich}}[A]+W_{\text{Materie}}[A,\phi]\ ,$$ (15.34)

so gilt die Noetheridentität für die Bewegungsgleichung der Felder $A_k$

$$\frac{\delta W_{\text{Eich}}}{\delta\! A_k}=-\frac{\delta W_{\text{Materie}}}{\delta\! A_k}$$ (15.35)

zweifach. Die linke Seite erfüllt wegen (G.28) die Noetheridentität

$$0 = \frac{\hat{\partial}}{\hat{\partial}\xi} \bigl ( \delta_\xi A_k \frac{\delta W_{\text{Eich}}}{\delta\! A_k}\bigr )\ .$$ (15.36)

Die Noetheridentität der Variationsableitungen der Materiewirkung

$$0= \frac{\hat{\partial}}{\hat{\partial}\xi} \bigl ( \delta_\xi A_... ...} + \delta_\xi \phi_i \frac{\delta W_{\text{Materie}}}{\delta\! \phi_i} \bigr )$$ (15.37)

gilt für alle Felder, insbesondere auch für solche Materiefelder $\phi_i$, die ihre Bewegungsgleichungen $\frac{\delta W_{\text{Materie}}}{\delta\! \phi_i}=0$ erfüllen. Dann fallen die Beiträge der Materiefelder zur Noetheridentität weg. Wenn die Materiewirkung eichinvariant ist und die Materiefelder ihre Bewegungsgleichungen erfüllen, so erfüllt auch die Variationsableitung der Materiewirkung identisch in den Feldern $A_k$ die Noetheridentität

$$0= \frac{\hat{\partial}}{\hat{\partial}\xi} \bigl ( \delta_\xi A_... ...,\quad \text{wenn}\quad \frac{\delta W_{\text{Materie}}}{\delta\! \phi_i}= 0\ .$$ (15.38)