Ströme und Variationsableitungen

Da die Variationsableitung nach der Materiewirkung in den Bewegungsgleichungen der Eichfelder (G.35) als Quelle so auftritt wie der elektromagnetische Strom in den Maxwellgleichungen, bezeichnet man $-\frac{\delta W_{\text{Materie}}}{\delta\! A_k}$ als Strom. Dieser Strom ist eng verwandt dem Noetherstrom, der zur Invarianz der Materiewirkung unter einer Symmetrietransformation gehört, die die Eichfelder nicht ändert.

Dies zeigt die folgende Kombination der beiden Noethertheoreme. Die Eichinvarianz (G.19) besagt für die Lagrangefunktion $\mathscr{L}$ der Materiewirkung

$$\delta_\xi \phi_i \frac{\hat{\partial}\mathscr{L}}{\hat{\partial}... ... \frac{\hat{\partial}\mathscr{L}}{\hat{\partial}A_k}+ \partial_m j_\xi^m = 0\ .$$ (15.39)

Dabei ist nach erstem Noethertheorem der Strom (G.20)

$$j_\xi^m = \delta_\xi \phi_i \frac{{\partial}\mathscr{L}}{{\partia... ...lta_\xi A_k \frac{{\partial}\mathscr{L}}{{\partial}\partial_m A_k} - K^m_\xi\ ,$$ (15.40)

wobei $K^m_\xi$ durch $\delta_\xi \mathscr{L}= \partial_m K^m_\xi$ bis auf einen trivialen Strom eindeutig definiert ist. Nach dem zweiten Noethertheorem hat der Strom die Form (G.31)

$$j_\xi^m = - \xi ( R_{\phi_i}^m \frac{\hat{\partial}\mathscr{L}}{\... ...ac{\hat{\partial}\mathscr{L}}{\hat{\partial}A_k} ) + \partial_n \hat{B}^{nm}\ .$$ (15.41)

Diese Ströme sind bis auf triviale Ströme (G.18) eindeutig. Also gibt es Funktionen $B^{mn}=-B^{nm}$ der Jet-Variablen,^15.3 so daß

$$\delta_\xi \phi_i \frac{{\partial}\mathscr{L}}{{\partial}\partial... ...artial}\phi_i} +R_{A_k}^m \frac{\hat{\partial}\mathscr{L}}{\hat{\partial}A_k} )$$ (15.42)

als Identität für alle Felder $A_k$ und alle Felder $\phi_i$ und alle Eichtransformationen $\xi$ gilt.

Sie gilt insbesondere für Materiefelder, die ihren Bewegungsgleichungen genügen, und für Eichtransformationen, die Eichfelder invariant lassen

$$\frac{\hat{\partial}\mathscr{L}}{\hat{\partial}\phi_l}= 0 \ \wedg... ...^{mn} = - \xi R_{A_k}^m \frac{\hat{\partial}\mathscr{L}}{\hat{\partial}A_k} \ .$$ (15.43)

Die linke Seite ist der Strom, der zur Symmetrie der Materiewirkung unter Transformationen gehört, die fest vorgegebene Eichfelder $A_k$, solche Felder nennt man Hintergrundfelder, unverändert lassen. Dabei kann das Eichfeld $A_k$ irgendeinen festen Wert haben, der mit $\delta_\xi A_k= 0$ verträglich ist. Gleichung (G.43) identifiziert diesen Noetherstrom, der durch das Transformationsverhalten der Felder $\phi_i$ festgelegt ist und $A_k$ nur als Hintergrundfeld enthält, als Linearkombination der Variationsableitungen der eichinvarianten Materiewirkung nach dem Eichfeld, wenn die Materiefelder ihre Bewegungsgleichungen erfüllen und die Eichfelder Werte haben, die Symmetrien $\delta_\xi A_k= 0$ zulassen.

Die Gleichung $\delta_\xi A_k= 0$ schränkt die Parameterfunktionen $\xi$ ein, eine Symmetrie von $A_k$ zu sein, und die Eichfelder $A_k$, eine Symmetrie zu haben. Zum Beispiel haben Yang-Mills-Felder mit Transformationsgesetz $\delta_\xi A_k^i = D_k \xi^i$ nur dann Symmetrien, wenn die Holonomiegruppe, die von den Feldstärken erzeugt wird, $\xi^i$ invariant läßt. Denn die Gleichung $D_m \xi^i = 0$ erfordert

$$0=[D_m,D_n]\xi^i= (F_{mn} \xi)^i = F_{mn}{}^j f_{kj}{}^i \xi^k\ .$$ (15.44)