Noetheridentität der Elektrodynamik

Die Wirkung der Elektrodynamik $W_{\text{Maxwell}}[A]+W_{\text{Materie}}[A,\phi]$ (5.116) ist invariant unter infinitesimalen Eichtransformationen (5.61)

$$\delta_\xi A_k = \partial_k \xi$$ (15.45)

und Eichtransformationen der Materiefelder, wie zum Beispiel $\delta \phi = \mathrm{i}\xi \phi$, von denen wir nur zu wissen brauchen, daß sie so gefunden werden können, daß die Wirkung eichinvariant ist. Diese Eichtransformation des Vektorpotentials ist (G.26) mit $R_k= 0$ und $R^m_k=\delta^m{}_k$. Daher erfüllen $W_{\text{Maxwell}}$ und $W_{\text{Materie}}$ die Noetheridentität (G.28) und (G.35)

$$\partial_m \frac{\delta W_{\text{Maxwell}}}{\delta A_m}= 0 = \partial_m \frac{\delta W_{\text{Materie}}}{\delta A_m}\ .$$ (15.46)

Dabei ist die erste Gleichung $\partial_m(\partial_n F^{mn})=0$ eine Identität und gilt für beliebige Felder $A_n(x)$. Die zweite Gleichung ist die Kontinuitätsgleichung $\partial_m j^m=0$ für den elektromagnetischen Strom $j^m = - \frac{\delta W_{\text{Materie}}}{\delta A_m}$ (5.122). Sie gilt aufgrund der Eichinvarianz der Wirkung, wenn die restlichen Felder $\phi$ ihre Bewegungsgleichungen erfüllen, identisch in $A_k$. Die Stromidentifizierungsgleichung (G.43) zusammen mit $R_{A_k}^m = \delta^m{}_k$ besagt, daß, falls die Materiefelder ihre Bewegungsgleichungen erfüllen, der Strom, der durch die Variationsableitung nach dem Eichfeld $A_m$ definiert ist, mit dem Strom übereinstimmt, der zur Invarianz der Materiewirkung unter Eichtransformationen mit konstanten Parametern gehört.