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Noetheridentität der Elektrodynamik

Die Wirkung der Elektrodynamik $ W_{\text{Maxwell}}[A]+W_{\text{Materie}}[A,\phi]$ (5.116) ist invariant unter infinitesimalen Eichtransformationen (5.61)

$\displaystyle \delta_\xi A_k = \partial_k \xi$ (15.45)

und Eichtransformationen der Materiefelder, wie zum Beispiel $ \delta \phi = \mathrm{i}\xi \phi$, von denen wir nur zu wissen brauchen, daß sie so gefunden werden können, daß die Wirkung eichinvariant ist. Diese Eichtransformation des Vektorpotentials ist (G.26) mit $ R_k= 0$ und $ R^m_k=\delta^m{}_k$. Daher erfüllen $ W_{\text{Maxwell}}$ und $ W_{\text{Materie}}$ die Noetheridentität (G.28) und (G.35)

$\displaystyle \partial_m \frac{\delta W_{\text{Maxwell}}}{\delta A_m}= 0 = \partial_m \frac{\delta W_{\text{Materie}}}{\delta A_m}\ .$ (15.46)

Dabei ist die erste Gleichung $ \partial_m(\partial_n F^{mn})=0$ eine Identität und gilt für beliebige Felder $ A_n(x)$. Die zweite Gleichung ist die Kontinuitätsgleichung $ \partial_m j^m=0$ für den elektromagnetischen Strom $ j^m = - \frac{\delta W_{\text{Materie}}}{\delta A_m}$ (5.122). Sie gilt aufgrund der Eichinvarianz der Wirkung, wenn die restlichen Felder $ \phi$ ihre Bewegungsgleichungen erfüllen, identisch in $ A_k$. Die Stromidentifizierungsgleichung (G.43) zusammen mit $ R_{A_k}^m = \delta^m{}_k $ besagt, daß, falls die Materiefelder ihre Bewegungsgleichungen erfüllen, der Strom, der durch die Variationsableitung nach dem Eichfeld $ A_m$ definiert ist, mit dem Strom übereinstimmt, der zur Invarianz der Materiewirkung unter Eichtransformationen mit konstanten Parametern gehört.




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