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Zeitdehnung

Vergeht auf einer Uhr zwischen zwei Ereignissen die Zeit $ t$, so vergeht auf einer zweiten, gleichen Uhr, die sich mit Geschwindigkeit $ v$ relativ zur ersten bewegt, zwischen den entsprechenden, gleichzeitigen Ereignissen weniger Zeit, nämlich $ \tau=\sqrt{1-v^2}\,t$. Dies liest

Abbildung 2.8: Zeitdehnung
Abbildung 2.9: wechselseitige Zeitdehnung
\begin{wrapfigure}{l}{55.5mm}\setlength{\unitlength}{0.6cm}
\special{em:linew...
...}}
\put(-2.5,3.6){\makebox(0,0)[lc]{$E^\prime$}}
}
\end{picture}\end{wrapfigure}
man am Raumzeitdiagramm 2.8 ab [14].

Für den Schiedsrichter, der beide Uhren gleich gehen sieht, finden die Ereignisse $ E^\prime$ und $ E$, in denen die Uhren von $ \mathcal{U}$ und $ \mathcal{B}$ die Zeit $ \tau$ zeigen, gleichzeitig statt. Für den Beobachter $ \mathcal{B}$ ist $ E$ gleichzeitig zu dem Ereignis, in dem seine Uhr die Zeit $ t=(T_++T_-)/2$ anzeigt.

Die Zeit $ \tau$, die auf der bewegten Uhr abläuft, ist kleiner als $ t$, denn das Ereignis $ t$ auf der Weltlinie von $ \mathcal{B}$ findet nach dem Ereignis $ E^\prime$ statt, in dem die Uhr von $ \mathcal{B}$ die Zeit $ \tau$ anzeigt.

Die Entfernung zwischen dem Beobachter $ \mathcal{B}$ und dem Ereignis $ E$ ist die Lichtlaufzeit $ r=(T_+-T_-)/2$. Sie wächst linear mit der Geschwindigkeit $ v$, mit der sich $ \mathcal{U}$ von $ \mathcal{B}$ entfernt, im Laufe der Zeit $ t$ an, $ r=vt$. Wegen $ \tau^2=T_+T_-=t^2-r^2=t^2-v^2 t^2$ zeigt die bewegte Uhr die Zeit

$\displaystyle \tau = \sqrt{1-v^2}\,t\ ,$ (2.19)

wenn gleichzeitig die ruhende Uhr $ t$ anzeigt.

Zeitdehnung ist wechselseitig. Für den Beobachter, der die Uhr $ \mathcal{U}$ mitführt, ruht seine Uhr, die Uhr von $ \mathcal{B}$ ist ihm gegenüber bewegt. Verlängert man wie in Abbildung 2.9 die in $ E^\prime$ einlaufenden und auslaufenden Lichtstrahlen bis zum Beobachter $ \mathcal{U}$, so zeigt in den Ereignissen $ T_-^\prime$ und $ T_+^\prime$, in denen diese Lichtstrahlen die Weltlinie von $ \mathcal{U}$ schneiden, seine Uhr die Zeiten $ T_-^\prime= T_-$ und $ T_+^\prime= T_+$ an. Dies bestätigt der Schiedsrichter $ \mathcal{S}$, der stets zwischen $ \mathcal{B}$ und $ \mathcal{U}$ ist, und bei dem gleichzeitig die Lichtpulse von $ T_-$ und $ T_-^\prime$ einlaufen und bei dem gleichzeitig die Lichtpulse zu $ T_+$ und $ T_+^\prime$ auslaufen. Für den Beobachter $ \mathcal{U}$ ist das Ereignis $ t^\prime$, in dem seine Uhr die Zeit $ (T_+^\prime +T_-^\prime)/2=(T_++T_-)/2=t$ anzeigt, gleichzeitig zu dem Ereignis $ E^\prime$, in dem die ihm gegenüber bewegte Uhr von $ \mathcal{B}$ die Zeit $ \tau=\sqrt{1-v^2}\,t$ anzeigt.



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