Zeitdehnung

Vergeht auf einer Uhr zwischen zwei Ereignissen die Zeit $t$, so vergeht auf einer zweiten, gleichen Uhr, die sich mit Geschwindigkeit $v$ relativ zur ersten bewegt, zwischen den entsprechenden, gleichzeitigen Ereignissen weniger Zeit, nämlich $\tau=\sqrt{1-v^2}\,t$. Dies liest

Abbildung 2.8: Zeitdehnung
Abbildung 2.9: wechselseitige Zeitdehnung

man am Raumzeitdiagramm 2.8 ab [14].

Für den Schiedsrichter, der beide Uhren gleich gehen sieht, finden die Ereignisse $E^\prime$ und $E$, in denen die Uhren von $\mathcal{U}$ und $\mathcal{B}$ die Zeit $\tau$ zeigen, gleichzeitig statt. Für den Beobachter $\mathcal{B}$ ist $E$ gleichzeitig zu dem Ereignis, in dem seine Uhr die Zeit $t=(T_++T_-)/2$ anzeigt.

Die Zeit $\tau$, die auf der bewegten Uhr abläuft, ist kleiner als $t$, denn das Ereignis $t$ auf der Weltlinie von $\mathcal{B}$ findet nach dem Ereignis $E^\prime$ statt, in dem die Uhr von $\mathcal{B}$ die Zeit $\tau$ anzeigt.

Die Entfernung zwischen dem Beobachter $\mathcal{B}$ und dem Ereignis $E$ ist die Lichtlaufzeit $r=(T_+-T_-)/2$. Sie wächst linear mit der Geschwindigkeit $v$, mit der sich $\mathcal{U}$ von $\mathcal{B}$ entfernt, im Laufe der Zeit $t$ an, $r=vt$. Wegen $\tau^2=T_+T_-=t^2-r^2=t^2-v^2 t^2$ zeigt die bewegte Uhr die Zeit

$$\tau = \sqrt{1-v^2}\,t\ ,$$ (2.19)

wenn gleichzeitig die ruhende Uhr $t$ anzeigt.

Zeitdehnung ist wechselseitig. Für den Beobachter, der die Uhr $\mathcal{U}$ mitführt, ruht seine Uhr, die Uhr von $\mathcal{B}$ ist ihm gegenüber bewegt. Verlängert man wie in Abbildung 2.9 die in $E^\prime$ einlaufenden und auslaufenden Lichtstrahlen bis zum Beobachter $\mathcal{U}$, so zeigt in den Ereignissen $T_-^\prime$ und $T_+^\prime$, in denen diese Lichtstrahlen die Weltlinie von $\mathcal{U}$ schneiden, seine Uhr die Zeiten $T_-^\prime= T_-$ und $T_+^\prime= T_+$ an. Dies bestätigt der Schiedsrichter $\mathcal{S}$, der stets zwischen $\mathcal{B}$ und $\mathcal{U}$ ist, und bei dem gleichzeitig die Lichtpulse von $T_-$ und $T_-^\prime$ einlaufen und bei dem gleichzeitig die Lichtpulse zu $T_+$ und $T_+^\prime$ auslaufen. Für den Beobachter $\mathcal{U}$ ist das Ereignis $t^\prime$, in dem seine Uhr die Zeit $(T_+^\prime +T_-^\prime)/2=(T_++T_-)/2=t$ anzeigt, gleichzeitig zu dem Ereignis $E^\prime$, in dem die ihm gegenüber bewegte Uhr von $\mathcal{B}$ die Zeit $\tau=\sqrt{1-v^2}\,t$ anzeigt.