Noetheridentität für Punktteilchen

Die Wirkung von Punktteilchen ist invariant unter infinitesimalen Transformationen $\delta_\xi x^n = \xi \frac{dx^n}{ds}$, die zu Reparametrisierungen $s^\prime=s-\xi(s)$ gehören. Diese Transformation ist, richtig gelesen, von der Form (G.26) mit $R_{x^n}=\frac{dx^n}{ds}$ und $R^{m}_{x^n}=0$, wobei der Index $m$ zu der Ableitung nach dem Bahnparameter $s$ gehört und nur einen Wert annimmt. Die zugehörige Noetheridentität (G.28) lautet

$$0=\frac{dx^n}{ds} \frac{\delta W}{\delta x^n(s)}\ .$$ (15.47)

Dies ist eine Identität in $s$, $x^n$ und den Ableitungen von $x^n$, falls alle weiteren Freiheitsgrade, die ebenfalls unter der Reparametrisierung transformieren, ihre Bewegungsgleichungen erfüllen.

Für die Wirkung freier Teilchen $W_{\text{Teilchen}}$ (4.14) besagt die Noetheridentität

$$\frac{dx^n}{ds}\frac{d}{ds}\frac{\frac{dx_n}{ds}}{\sqrt{\frac{dx}{ds}\cdot \frac{dx}{ds}}} = 0\ .$$ (15.48)

Sie ist ohne Einschränkung an $x^m$ erfüllt, denn die Änderung eines Einheitsvektors ist stets auf ihm senkrecht (2.52).

Für die Ankopplung an das elektromagnetische Feld $W_{\text{Kopplung}}$ (5.158) lautet die Identität (G.47)

$$\frac{dx^n}{ds}\bigl (\frac{q}{c} F_{nm}\frac{dx^m}{ds} \bigr ) = 0\, .$$ (15.49)

Sie ist unabhängig davon erfüllt, ob die elektromagnetischen Felder ihren Bewegungsgleichungen genügen, denn eine Doppelsumme eines symmetrischen Indexpaares mit einem antisymmetrischen Indexpaar verschwindet (5.17).

Da der Viererimpuls $P^n$ (4.95) proportional zum Tangentialvektor $\frac{dx^n}{ds}$ ist, besagt die Noetheridentität, daß sich $P^2$ und damit die Masse (3.52) selbst bei Wechselwirkung nicht längs der Bahn ändert $\frac{d}{ds}P^2=2 P^n \frac{d}{ds}P_n = 0$. Denn fügen wir der Wirkung $W_{\text{Teilchen}}$ einen reparametrisierungsinvarianten Teil $W_{\text{Potential}}$ hinzu, so lauten die Bewegungsgleichungen $\frac{d}{ds}P_n = F_n$ und die Kraft $F_n=-\frac{\delta W_{\text{Potential}}}{\delta x^n}$ steht senkrecht auf dem Viererimpuls

$$\frac{dx^n}{ds}\frac{\delta W_{\text{Potential}}}{\delta x^n}=0\ .$$ (15.50)

Das Quadrat des Viererimpulses eines Punktteilchens, dessen Wirkung reparametrisierungsinvariant ist, ist also auch bei Wechselwirkung erhalten. Diese theoretische Schlußfolgerung stimmt mit den Beobachtungen von Teilchen im elektromagnetischen oder gravitativen Feld überein, ist aber meßbar falsch bei Teilchenumwandlungen wie zum Beispiel Kernzerfällen. Teilchenumwandlung kann nicht Auswirkung von Kräften auf Punktteilchen sein.