Noetheridentiät der Gravitation

Die Wirkung $W_{\text{Metrik}}[g]+W_{\text{Materie}}[g,\phi]$ der Gravitation besteht aus zwei Teilen, die beide invariant unter Koordinatentransformationen sind. Unter infinitesimalen Koordinatentransformationen $x^{\prime\, m}= x^m - \xi^m$ transformiert die Metrik mit der Lieableitung (C.107)

$$\delta_\xi g_{kl}= \xi^n \partial_n g_{kl} + \partial_k\xi^n g_{nl} + \partial_l\xi^n g_{kn} \ .$$

Dieses Transformationsgesetz ist von der Form (G.26), verallgemeinert auf den Fall, daß der Parameter der Eichtransformation mehrere Komponenten $\xi^n$ hat und daß die Felder durch zwei Indizes abgezählt werden

$$\delta_\xi g_{kl}= \hat{R}_{kl\,n}\xi^n + \hat{R}_{kl\,n}^m\parti... ...l_n g_{kl}\ ,\ \hat{R}_{kl\,n}^m = \delta^m{}_k g_{ln} + \delta^m{}_l g_{kn}\ .$$ (15.51)

Die Invarianz der Wirkung unter infinitesimalen Koordinatentransformationen mit beliebigen Funktionen $\xi^k$ führt daher zur Noetheridentität (G.28)

$$\frac{\hat{\partial}}{\hat{\partial}\xi^k} \bigl (\delta_\xi g_{mn} \frac{\delta W}{\delta g_{mn}}\bigr )= 0\ .$$ (15.52)

Sie gilt identisch in der Metrik und ihren Ableitungen, wenn wir für $W$ die Wirkung $W_{\text{Metrik}}$ des Gravitationsfeldes einsetzen. Für die Materiewirkung gilt sie, wenn die Materiefelder ihre Bewegungsgleichungen erfüllen. Mit der Bezeichnung (7.4)

$$\frac{\delta W_{\text{Materie}}}{\delta g_{mn}}= - \frac{1}{2} \mathcal{T}^{mn}$$ (15.53)

für die Variationsableitung besagt die Noetheridentität

$$(\partial_k g_{mn} )\mathcal{T}^{mn} - \partial_m (g_{kn}\mathcal{T}^{mn}) - \partial_n (g_{mk}\mathcal{T}^{mn}) =0\ .$$ (15.54)

Dies ist Gleichung (7.3), aus der wir lokale Energie-Impulserhaltung und die Geodäteneigenschaft der Weltlinien frei fallender Teilchen abgeleitet haben.

Die Stromidentifizierungsgleichung (G.43) besagt, daß bis auf einen trivialen Strom $\partial_nB^{nm}$, $B^{mn}=-B^{nm}$, der Strom

$$j_\xi^m = \frac{1}{2}\xi^n \hat{R}_{kl\,n}^{m}\mathcal{T}^{kl}= \mathcal{T}^{mn}\xi_n$$ (15.55)

derjenige erhaltene Strom ist, der zur Invarianz der Wirkung $W_{\text{Materie}}[g_{\text{B}},\phi]$ unter Isometrien der fest gewählten Hintergrundmetrik $g_{\text{B}\,mn}$ gehört. Insbesondere sind die Isometrien der flachen Metrik $g_{mn}=\eta_{mn}$ die Poincaré-Transformationen und definitionsgemäß bilden die Ströme, die zur Invarianz unter Translationen gehören, den Energie-Impulstensor. Es stimmt also $\mathcal{T}^{mn}$ im flachen Raum bis auf Verbesserungsterme, das sind triviale Ströme, mit dem Energie-Impulstensor überein. Dies identifiziert die Variationsableitung (G.53), die als Quellenterm in den Bewegungsgleichungen der Metrik auftritt, als Energie-Impulstensordichte.

Daß die Quelle von Gravitation der Energie-Impulstensor ist, macht ein Äquivalenzprinzip aus: alle Materie erzeugt unabhängig von ihrer Zusammensetzung auf gleiche Art durch ihren Energie-Impulstensor Gravitation.

Die träge Masse ist der gravitationserzeugenden Masse gleich, denn der Energie-Impulstensor ist nicht nur Quelle der Gravitation, er bestimmt auch durch seine Abhängigkeit von der Geschwindigkeit der Teilchen ihre Trägheit, weil er unter anderem die Impulsdichten enthält. Der Impulserhaltungssatz $\partial_m \mathcal{T}^{mi} +\Gamma_{mn}{}^i \mathcal{T}^{mn} = 0$ ist verantwortlich für Trägheit, denn er besagt, daß für ein Teilchen eine Abweichung vom freien Fall nur durch Impulsübertrag möglich ist, also durch eine Kraft, die einige Zeit wirkt.