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Algebraische Identität

Aus der differentiellen Identität $ D_m T^{mn}= 0$ folgt die algebraische Identität

$\displaystyle G^l{}_m T^m{}_k = T^l{}_m G^m{}_k\ .$ (15.56)

Denn für die Kontraktion der zyklische Summe $ g^{kn}\mathop{\mathchoice {\makebox [0pt][l]{\,$\bigcirc$}\sum } {\parbox{0pt}...
...{\kern0.15ex\makebox[0pt][l]{$\,\textstyle \circ$}}\sum }}_{klm}[D_k,D_l]T_{mn}$ gilt, wenn wir $ D_m T^{mn}= 0$, (C.54) und $ T_{mn}= T_{nm}$ sowie $ R^{n}{}_{lm}{}^k T_{kn}=R^{n}{}_{ml}{}^k T_{kn}$ verwenden,

\begin{equation*}\begin{aligned}D^n D_l T_{mn}+ D_l D_m T^n{}_n +& D_m D^n T_{ln...
...k T_{lk} = \\ = & R_l{}^k T_{mk}- R_m{}^k T_{lk}\ . \end{aligned}\end{equation*}

Andererseits ist $ [D_k,D_l]T_{mn}= - R_{klm}{}^rT_{rn} - R_{kln}{}^rT_{mr}$. Die zyklische Summe über $ R_{klm}{}^n$ verschwindet (C.60), und wir erhalten für die Summe $ g^{kn}\mathop{\mathchoice {\makebox [0pt][l]{\,$\bigcirc$}\sum } {\parbox{0pt}...
...{\kern0.15ex\makebox[0pt][l]{$\,\textstyle \circ$}}\sum }}_{klm}[D_k,D_l]T_{mn}$ den entgegengesetzen Wert

$\displaystyle g^{kn}\mathop{\mathchoice {\makebox [0pt][l]{\,$\bigcirc$}\sum } ...
...yle \circ$}}\sum }}_{klm}[D_k,D_l]T_{mn} = - R_l{}^k T_{mk} + R_m{}^k T_{lk}\ .$ (15.58)

Also verschwindet sie und es gilt auch (G.56), denn der Riccitensor $ R^m{}_{n}$ unterscheidet sich vom Einsteintensor $ G^m{}_n$ nur um ein Vielfaches von $ \delta^m{}_n$.



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