Algebraische Identität

Aus der differentiellen Identität $D_m T^{mn}= 0$ folgt die algebraische Identität

$$G^l{}_m T^m{}_k = T^l{}_m G^m{}_k\ .$$ (15.56)

Denn für die Kontraktion der zyklische Summe $g^{kn}\mathop{\mathchoice {\makebox [0pt][l]{\,$\bigcirc$}\sum } {\parbox{0pt}... ...{\kern0.15ex\makebox[0pt][l]{$\,\textstyle \circ$}}\sum }}_{klm}[D_k,D_l]T_{mn}$ gilt, wenn wir $D_m T^{mn}= 0$, (C.54) und $T_{mn}= T_{nm}$ sowie $R^{n}{}_{lm}{}^k T_{kn}=R^{n}{}_{ml}{}^k T_{kn}$ verwenden,

$$\begin{aligned}D^n D_l T_{mn}+ D_l D_m T^n{}_n +& D_m D^n T_{ln... ...k T_{lk} = \\ = & R_l{}^k T_{mk}- R_m{}^k T_{lk}\ . \end{aligned}$$

Andererseits ist $[D_k,D_l]T_{mn}= - R_{klm}{}^rT_{rn} - R_{kln}{}^rT_{mr}$. Die zyklische Summe über $R_{klm}{}^n$ verschwindet (C.60), und wir erhalten für die Summe $g^{kn}\mathop{\mathchoice {\makebox [0pt][l]{\,$\bigcirc$}\sum } {\parbox{0pt}... ...{\kern0.15ex\makebox[0pt][l]{$\,\textstyle \circ$}}\sum }}_{klm}[D_k,D_l]T_{mn}$ den entgegengesetzen Wert

$$g^{kn}\mathop{\mathchoice {\makebox [0pt][l]{\,$\bigcirc$}\sum } ... ...yle \circ$}}\sum }}_{klm}[D_k,D_l]T_{mn} = - R_l{}^k T_{mk} + R_m{}^k T_{lk}\ .$$ (15.58)

Also verschwindet sie und es gilt auch (G.56), denn der Riccitensor $R^m{}_{n}$ unterscheidet sich vom Einsteintensor $G^m{}_n$ nur um ein Vielfaches von $\delta^m{}_n$.