Algebraisches Poincaré-Lemma

Nach dem Lemma von Poincaré (A.61) verschwindet in sternförmigen Gebieten die äußere Ableitung einer Differentialform $\omega(x,dx)$ genau dann, wenn sie ihrerseits bis auf einen von $x$ und $dx$ unabhängigen Teil die äußere Ableitung einer Form $\eta(x,dx)$ ist

$$d\omega(x,dx)= 0 \Leftrightarrow \omega = \omega{(0,0)} + d \eta(x,dx)\ .$$ (15.59)

Für Differentialformen vom Typ

$$\omega = \omega(x,dx,\phi,\partial \phi, \partial \partial \phi,\dots )\ ,$$ (15.60)

wie sie als Integrand einer lokalen Wirkung $\mathscr{L}\,d^D x$ einer $D$-dimensionalen Feldtheorie auftreten und die nicht nur von den Koordinaten, sondern von den Jet-Variablen

$$\{\phi^i\}=\phi^i,\partial \phi^i, \partial \partial \phi^i,\dots\ ,$$ (15.61)

also von Feldern $\phi^i$ und ihren Ableitungen abhängen, gilt in sternförmigen Gebieten das algebraische Poincaré-Lemma

$$d \omega(x,dx,\{\phi\}) = 0 \Leftrightarrow \omega(x,dx,\{\phi\}) = \omega(0,0,0) + d\eta(x,dx,\{\phi\}) + {\mathscr L}(x,\{\phi\})d^D x\ .$$ (15.62)

Dabei wirkt die äußere Ableitung $d=dx^m\partial_m$ auf Jet-Differentialformen durch Differentation der Koordinaten $x^m$, die Ableitung der Jet-Variablen ist algebraisch und fügt einen Index hinzu

$$d = dx^m \partial_m\ , \quad \partial_m x^n = \delta_m^{\phantom{... ...partial_l\dots \partial_m \phi) = \partial_k \partial_l\dots \partial_m \phi\ .$$ (15.63)

Die Felder genügen keinen Bewegungsgleichungen, das heißt die Variablen $\partial_k \partial_l\dots \partial_m \phi$ sind unabhängig bis auf die Tatsache, daß partielle Ableitungen in der Reihenfolge vertauscht werden können $\partial_k \dots \partial_m \phi$= $\partial_m \dots \partial_k \phi\ .$

Die Lagrangeform ${\mathscr L}(x,\{\phi\})d^D x$ in (G.62) ist nicht die Ableitung einer $D-1$-Form $\chi$, wenn nicht alle Eulerableitungen

$$\frac{\hat{\partial}{\mathscr L}}{\hat{\partial} \phi^i} = \frac{... ...i} -\partial_m \frac{\partial{\mathscr L}}{\partial (\partial_m\phi^i)} + \dots$$ (15.64)

identisch in den Jet-Variablen verschwinden

$${\mathscr L}(x,\{\phi\})d^D x = d\chi(x,dx,\{\phi\}) \Leftrightarrow \frac{\hat{\partial}{ \mathscr L}}{\hat{\partial} \phi^i}\equiv 0 \ .$$ (15.65)

Eine wichtige Folgerung des algebraischen Poincaré-Lemmas ist, daß die Divergenz eines Vektorfeldes $j^m$ genau dann identisch in den Jet-Variablen, also ohne Benutzung von Bewegungsgleichungen, verschwindet, wenn es seinerseits die Divergenz eines Feldes $B^{mn}=-B^{nm}$ ist

$$\partial_m j^m = 0\quad \Leftrightarrow\quad j^n=\partial_m B^{mn}\ ,\quad B^{mn}= -B^{nm}\ .$$ (15.66)

Wir führen den Beweis [37] von (G.62) getrennt für $p$-Formen mit $p< D$ und mit $p=D$. Dabei beschränken wir uns auf den feldabhängigen Teil der Differentialformen, für den feldunabhängigen Anteil $\omega(x,dx,0)$ gilt (G.59). Wir unterstellen, daß $\omega$ analytisch in $\phi$ und polynomial in den Ableitungen $\partial \phi$, $\partial\partial \phi$, $\dots$ ist.

Für $p=D$, $\omega=\mathscr{L}d^Dx$, schreiben wir die Lagrangefunktion als Integral über ihre Ableitung

$$\mathscr{L}(x,\phi,\partial \phi, \dots) = \int_0^1\! d\lambda\, ... ...l}{\partial \lambda}\mathscr{L}(x,\lambda \phi,\lambda \partial \phi,\dots )\ .$$ (15.67)

Der Beitrag von der unteren Integrationsgrenze $\mathscr{L}(x,0,0,\dots)$ verschwindet, da wir nur feldabhängige $D$-Formen betrachten. Die Ableitung $\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \lambda}$ ist bis auf vollständige Ortsableitungen ein Vielfaches der Eulerableitung

$$\phi\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \phi}+ \partial_m \phi \... ...\{\phi\})=\phi \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial_m \phi)}+\dots\ .$$ (15.68)

Hier sind alle Ableitungen von $\mathscr{L}$ bei $(x,\lambda \phi,\lambda \partial \phi,\dots)$ zu nehmen.

Für $\mathscr{L}d^Dx$ folgt

$$\chi= \chi_{m_2\dots m_D} dx^{m_2}\dots dx^{m_D}$$

$$\mathscr{L}(x,\phi,\partial \phi, \dots)d^Dx= \int_0^1\! d\lambda... ...varepsilon^{m\, m_2\dots m_{D}} \int_0^1\! d\lambda\,X^m(\lambda,x,\{\phi\})\ .$$ (15.69)

Dies zeigt (G.65) und (G.62) für $D$-Formen.

Der Beweis des algebraischen Poincaré-Lemmas für $p< D$ verwendet algebraische Operationen, die so gut wie möglich das Umgekehrte der äußeren Ableitung bewirken.

Auf Jet-Formen kann man algebraisch Operationen $t^n$ definieren, die linear sind, also Term für Term wirken, und jedem Term nach der Produktregel $t^n(fg)=(t^n f)g + f (t^n g)$ abarbeiten. Dann ist $t^n$ vollständig durch seine Wirkung auf die elementaren Variablen

$$\begin{aligned}&t^n(x^m)=0\ , &\quad &t^n(dx^m)=0\ , \\ &t^n(\p... ...ts\hat{\partial}_{m_k}\dots \partial_{m_l}\phi^i\ , \end{aligned}$$

festgelegt. Das Symbol $\hat{}$ bedeutet die Auslassung des damit bezeichneten Objektes. $t^n$ läßt also eine Ableitung $\partial_n$ von Jet-Variablen weg, genauer wirkt $t^n$ als Ableitung nach Ableitungen der Felder $\phi$, das heißt auf Jet-Variablen ist $t^n=\frac{\partial}{\partial(\partial_n)}$.

Offensichtlich vertauschen $t^m$ und $t^n$, $[t^m,t^n] =0$. Weniger offensichtlich ist

$$[t^n,\partial_m]=\delta_m^n N_{ \{\phi\} }\ ,\quad N_{ \{\phi\} }... ... \phi^i} +\partial_m\phi^i\frac{\partial}{\partial(\partial_m \phi^i)}+\dots\ .$$ (15.71)

Dabei zählt $N_{ \{\phi\}}$ die Jet-Variablen $\{\phi\}$; für Jet-Formen $\omega$, die homogen vom Grad $N$ in den Jet-Variablen sind, gilt $N_{\{\phi\}}\omega = N \omega$. Die Gleichung (G.72) gilt, wie man leicht nachrechnet, wenn man $t^n$ und $\partial_m$ auf elementare Variable anwendet, und sie gilt daher auch für Polynome, denn die linke und die rechte Seite sind linear und genügen der Produktregel.

Ebenso wie $t^n$ ist die Ableitung nach Differentialen durch ihre Wirkung auf den elementaren Variablen

$$\begin{aligned}&\frac{\partial}{\partial(dx^m)}x^n = 0\ ,\quad ... ...^m)}\partial_{m_1}\dots \partial_{m_l}\phi^i = 0\ , \end{aligned}$$

und durch Linearität und die Produktregel

$$\frac{\partial (\omega\chi)}{\partial(dx^m)}= \frac{\partial \ome... ...l(dx^m)}\chi+(-1)^{\vert\omega\vert} \omega\frac{\partial \chi}{\partial(dx^m)}$$ (15.73)

auf allen Jet-Formen definiert. Die Gradierung $\vert\omega\vert$ ist 0 oder $1$, je nachdem, ob der Formengrad von $\omega$ gerade oder ungerade ist. Man bestätigt leicht, daß das Differenzieren nach $dx^m$ gefolgt von Multiplizieren mit $dx^m$ den Formengrad abzählt. Für $p$-Formen $\omega$ erhalten wir

$$N_{dx}=dx^m\frac{\partial}{\partial(dx^m)}\ ,\quad N_{dx}\omega = p \,\omega\ .$$ (15.74)

Wir betrachten die algebraische Operation

$$b=t^m\frac{\partial}{\partial(dx^m)}\ ,$$ (15.75)

die entgegengesetzt zur äußeren Ableitung $d$ nicht mit einer Differentialform $dx$ multipliziert, sondern danach differenziert, und die nicht nach $x^m$ differenziert, sondern Differentationen von den Jet-Variablen entfernt. Der Antikommutator

$$\{A,B\}=AB+BA$$ (15.76)

von $b$ mit der äußeren Ableitung $d=dx^m\partial_m$ kann mit der Produktregel

$$\{A,BC\}=ABC+BCA=ABC+BAC-BAC+BCA =\{A,B\}C - B [A,C]$$ (15.77)

als Differenz eines Antikommutators und eines Kommutators geschrieben werden

$$\{b,d\}=\{b,dx^m\partial_m\}=\{t^m\frac{\partial}{\partial (dx^m)},dx^n\}\partial_n -dx^n[t^m\frac{\partial}{\partial (dx^m)},\partial_n]\ ,$$ (15.78)

die ihrerseits mit $\{AB,C\}=A\{B,C\}-[A,C]B$ und mit $[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B$ zerlegt werden können

$$\{t^m\frac{\partial}{\partial (dx^m)},dx^n\} =t^m \{ \frac{\partial}{\partial (dx^m)},dx^n\} -[t^m,dx^n] \frac{\partial}{\partial (dx^m)} =t^m \delta_m{}^n\ ,$$ (15.79)

$$[t^m\frac{\partial}{\partial (dx^m)},\partial_n] =t^m[\frac{\partial}{\partial (dx^m)},\partial_n]+ [t^m,\partial_... ...}{\partial (dx^m)} =\delta_n^{m}N_{\{\phi\}}\frac{\partial}{\partial (dx^m)}\ .$$ (15.80)

Wir erhalten die wichtige Relation

$$\{d,b\} =t^n\partial_n - dx^n N_{\{\phi\}}\frac{\partial}{\partial (dx^n)}$$

$$= \partial_nt^n + \delta_n^{\phantom{n}n}N_{\{\phi\}} - N_{\{\phi\}}\,N_{dx}$$

$$=P_1 + N_{\{\phi\}}(D-N_{dx}) \ .$$ (15.81)

Die algebraische Operation $P_1$ ordnet eine Ableitung um, indem sie zunächst nach der Produktregel eine Ableitung wegnimmt und anschließend wieder differenziert

$$P_1=\partial_kt^k\ .$$ (15.82)

Da die äußere Ableitung $d$ nilpotent ist, $d^2 = 0$, vertauscht sie mit $\{d,b\}$,

$$[d,\{d,b\}]=d^2b+dbd-dbd-bd^2=0\ .$$ (15.83)

Also gilt wegen (G.82)

$$[d, P_1 + N_{\{\phi\}}(D-N_{dx}) ] =0\ .$$ (15.84)

Zudem vertauscht $d$ mit $N_{ \{\phi\}}$, weil es die Zahl der Jet-Variablen $\{\phi\}$ nicht ändert und erhöht die Anzahl der Differentiale um 1, $N_{dx}d =d(N_{dx}+1)$. Daraus ergibt sich

$$[d,P_1]=-N_{\{\phi\}} dd\omega = 0\ \Rightarrow\ d(P_1\omega) = 0\ .$$ (15.85)

Wir betrachten allgemeiner die algebraischen Operationen $P_n$

$$P_n=\partial_{k_1}\dots\partial_{k_n}t^{k_1}\dots t^{k_n}\ ,\quad P_0=1\ ,$$ (15.86)

die zunächst $n$ Ableitungen wegnehmen und dann wieder $n$-mal ableiten. Für jedes Polynom $\omega$ in den Ableitungen der Felder gibt es eine Zahl $\bar{n}(\omega)$, so daß

$$P_n \omega =0 \quad \forall n \ge \bar{n}(\omega)\ ,$$ (15.87)

denn jedes Monom von $\omega$ hat eine beschränkte Zahl von Ableitungen.

Aus den Vertauschungsrelationen (G.72) folgt die Rekursion

$$P_1P_k=P_{k+1}+kN_{\{\phi\}}P_k\ ,$$ (15.88)

mit der $P_k$ iterativ durch $P_1$ und $N_{ \{\phi\}}$ ausgedrückt werden kann

$$P_k=\prod\limits_{l=0}^{k-1}(P_1-lN_{\{\phi\}})\ .$$ (15.89)

Aus (G.87) folgt auch $d\omega=0 \Rightarrow d(P_1-lN_{\{\phi\}})\omega=0$ und daher $d\omega=0 \Rightarrow d(P_k \omega = 0)$.

Wenn für eine $p$-Form $\omega$, $p< D$, die zudem homogen vom Grad $N\ge 1$ in den Jet-Variablen ist, die äußere Ableitung verschwindet, $d\omega=0$, und wenn demnach $d(P_k\omega)=0$ ist, dann können wir mit (G.82) $P_k\omega$ für $k=0,1,\dots$ bis auf einen Term $P_{k+1}\omega$ als äußere Ableitung schreiben.

$$\begin{aligned}N(D-p)\omega &=-P_1\omega + d(b\omega)\\ d(bP_k\... ... &=-P_{k+1}\omega + d(bP_k\omega) \quad k=0,1,\dots \end{aligned}$$

Da $\omega$ polynomial von Ableitungen der Felder abhängt, bricht diese Rekursion nach endlich vielen Schritten ab (G.89). Für $p< D$ und $N>0$ erhalten wir

$$d\omega = 0 \Rightarrow \quad \omega = d\left ( b \sum\limits_{k=... ...)}\frac{(-)^k}{N^{k+1}} \frac{(D-p-1)!}{(D-p+k)!}P_k\omega \right ) = d \eta\ .$$ (15.91)

Damit ist das algebraische Poincaré-Lemma gezeigt. Die Enschränkung auf Differentialformen mit Homogenitätsgrad $N$ ist unerheblich, denn nichthomogene Differentialformen lassen sich aus homogenen zusammensetzen.

Das algebraische Poincaré-Lemma gilt nicht, wenn die Mannigfaltigkeit nicht sternförmig ist oder wenn die Felder $\phi$ Abbildungen nicht in die reellen Zahlen sondern in einen topologisch nichttrivialen Raum sind. Zum Beispiel sind die algebraischen Operationen $t^n$ nicht definiert, wenn die Felder nur Werte auf einer Kugel $\phi^i\phi^i=$konst$>0$ annehmen, denn dann folgt $\partial_n\phi^i \phi^i = 0$ und eine algebraische Operation $t^n=\frac{\partial}{\partial(\partial_n)}$ würde darauf angewendet zum Wiederspruch $\phi^i\phi^i=0$ führen.