Ableitung der Determinante

Jede lineare Transformation $L$ bildet Basisvektoren $e_j$, $j=1,2,\dots, n$, auf Vektoren

$$L: e_j \mapsto L(e_j) = e_i L^i{}_j$$ (16.1)

ab. Dabei bezeichnet $L^i{}_j$ die Matrixelemente der zu $L$ und zur Basis $e_j$ gehörigen Matrix. Sie enthält in der Spalte $j$ die Komponenten des transformierten $j$-ten Basisvektors. Die Vektoren $L (e_j)$ spannen ein Volumen auf, das proportional ist zu dem nichtverschwindenden Volumen, das die Basisvektoren $e_j$ aufspannen. Der Proportionalitätsfaktor definiert die Determinante von $L$

$$(L (e_1),L (e_2),\dots,L (e_n))=\det (L)\, (e_1,e_2,\dots,e_n)\ .$$ (16.2)

Da Volumen linear in jedem seiner Argumente ist (A.22), können wir die Koeffizienten $L^i{}_j$ herausziehen und erhalten

$$(L (e_1),L (e_2),\dots,L (e_n))= L^{i_1}{}_1L^{i_2}{}_2\dots L^{i_n}{}_n (e_{i_1},e_{i_2},\dots,e_{i_n})\ .$$ (16.3)

Das Volumen, das von einem Vektor mit sich selbst und weiteren Vektoren aufgespannt wird, verschwindet

$$(e_1,\dots,a,\dots,a,\dots,e_n)=0\ .$$ (16.4)

Daraus folgt in Kombination mit der Linearität, daß das Volumen total antisymmetrisch unter Vertauschung seiner Argumente ist (A.24), und daher

$$(e_{i_1},e_{i_2},\dots,e_{i_n})= \varepsilon_{i_1i_2\dots i_n} (e_1,e_2,\dots,e_n)\ ,$$ (16.5)

wobei $\varepsilon_{i_1i_2\dots i_n}$ total antisymmetrisch ist und $\varepsilon_{1 2 \dots n}=1$ ist (A.32). Die Determinante von $L$ ist daher das folgende Polynom der Matrixelemente (B.60)

$$\det L = \varepsilon_{i_1i_2\dots i_n}L^{i_1}{}_1L^{i_2}{}_2\dots L^{i_n}{}_n\ .$$ (16.6)

Allgemeiner gilt $\varepsilon_{i_1i_2\dots i_n}L^{i_1}{}_{j_1}L^{i_2}{}_{j_2}\dots L^{i_n}{}_{j_n} = \varepsilon_{j_1j_2\dots j_n}\det L$, denn beide Seiten sind total antisymmetrisch. Für hintereinander ausgeführte lineare Transformationen $A$ und $B$ ergibt sich hieraus unmittelbar der Determinantenproduktsatz, $\det(A B)= \det A\cdot \det B$ sowie $\det L = \det L^T$, denn $\varepsilon_{j_1j_2\dots j_n}L^{i_1}{}_{j_1}L^{i_2}{}_{j_2}\dots L^{i_n}{}_{j_n} =\det L^T \varepsilon_{i_1i_2\dots i_n}$.

Durch Differenzieren folgt aus (H.6)

$$\frac{\partial \det L}{\partial L^{i}{}_j}= \varepsilon_{i_1 \dot... ..._n}L^{i_1}{}_1 \dots L^{i_{j-1}}{}_{j-1}L^{i_{j+1}}{}_{j+1}\dots L^{i_n}{}_n\ .$$ (16.7)

Was dieses Ergebnis besagt, finden wir heraus, indem wir mit $L^{i}{}_l$ multiplizieren und über $i$ summieren. Dann erhalten wir wieder die Determinante, wenn $l=j$ ist. Im Fall $l\ne j$ erhalten wir Null, weil in der Summe mit dem $\varepsilon$-Tensor schon $L^{i_l}{}_l$ steht und $\varepsilon$ total antisymmetrisch ist. Also ist die Ableitung der Determinante einer Matrix ein Vielfaches der inversen Matrix

$$\frac{\partial \det L}{\partial L^i{}_j}=(\det L) \;L^{-1}{}^j{}_i\ .$$ (16.8)

Die rechte Seite $(\det L)\, L^{-1\,j}{}_i$, der Minor von $L$, ist polynomial in den Matrixelementen von $L$ und existiert auch noch, wenn $L$ nicht invertierbar ist.

Falls $L$ invertierbar ist, ergibt sich die Ableitung der Determinante mit der Relation $\det({\mathbf 1}+A)=1+\tr A + O(A^2)$ für kleine $A$ (H.6) auch einfach aus dem Produktsatz

$$\begin{aligned}\delta \det L &= \det(L + \delta L)-\det L = \de... ...artial \det L}{\partial L^i{}_j}\,\delta L^i{}_j\ . \end{aligned}$$

Die Ableitung der Determinante einer einparametrigen Schar von Matrizen $L_\alpha$ ist nach Kettenregel

$$\frac{\partial}{\partial \alpha} \det L_\alpha = \det L_\alpha\; L_\alpha^{-1}{}^j{}_i\; \frac{\partial}{\partial \alpha} L^i{}_j\ .$$ (16.10)

Die Matrixelemente $(L^{-1})^i{}_j$ der inversen Matrix sind rationale Funktionen der Matrixelemente $L^m{}_n$ der Matrix $L$. Ihre Ableitung

$$\frac{\partial (L^{-1})^i{}_j}{\partial L^r{}_s} = - (L^{-1})^i{}_r(L^{-1})^s{}_j$$ (16.11)

erhält man, wenn man in der definierenden Relation $L^{-1}L = 1$ die Matrizen variiert $(\delta L^{-1})L + L^{-1}\delta L = 0$ und nach $\delta L^{-1}$ auflöst

$$\delta L^{-1}= - L^{-1}(\delta L) L^{-1}\ .$$ (16.12)

Etwas umständlicher bestätigt man diese Relation durch Differenzieren der Relation $(L^{-1})^i{}_jL^j{}_k= \delta^i{}_k$ mit ${\partial L^i{}_j}/{\partial L^r{}_s}=\delta^i{}_r\delta^s{}_j$.

Als metrisches Volumenelement bezeichnet man $\sqrt{\mathrm{g}}d^n x$, wobei

$$\mathrm{g}=\vert\det g_{..}\vert\ ,\quad(g_{..})_{kl}= g_{kl}$$ (16.13)

der Betrag der Determinante derjenigen Matrix $g_{..}$ ist, deren Elemente die Komponenten der Metrik sind. Die Ableitung von $\sqrt{\mathrm{g}}$ nach den Koordinaten $x^k$ ist nach Kettenregel

$$\partial_k\sqrt{\mathrm{g}}=\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{g}}}\, \mathrm{g} g^{rs}\partial_k g_{rs} = \sqrt{\mathrm{g}}\, \Gamma_{kl}{}^l\ ,$$ (16.14)

wobei $\Gamma_{kl}{}^m$ das Christoffelsymbol (C.106) ist, das im metrikverträglichen, torsionsfreien Paralleltransport auftritt. Daher gehört zu jedem kovariant erhaltenen Vektorstrom $j^m$, $D_m j^m = 0$, die Stromdichte $\sqrt{\mathrm{g}}\,j^m$ , die eine Kontinuitätsgleichung erfüllt,

$$\sqrt{\mathrm{g}}\,D_m j^m = \sqrt{\mathrm{g}}\bigl ( \partial_m ... ...ma_{mk}{}^m j^k \bigr ) = \partial_m \bigl ( \sqrt{\mathrm{g}}\, j^m \bigr )\ .$$ (16.15)