Das Schursche Lemma

Eine Menge von linearen Abbildungen $K$, die einen Vektorraum $\mathcal{V}$ auf sich abbilden und dabei einen echten Unterraum $\mathcal{U}$, $\{0\}\ne \mathcal{U}\ne \mathcal{V}$, auf sich abbilden, heißt reduzibel. Wählt man die Basis für $\mathcal{V}$ so, daß die ersten Basisvektoren $\mathcal{U}$ aufspannen, so haben die zu den reduziblen Abbildungen gehörigen Matrizen einen gemeinsamen Block verschwindender Matrixelemente und sind von der Form

$$K= \begin{pmatrix}* & *\\ 0 & * \end{pmatrix}\ .$$ (17.1)

Eine Menge von linearen Abbildungen $K$ heißt irreduzibel, wenn keine anderen Unterräume als $\{ 0 \}$ und $\mathcal{V}$ von allen Abbildungen $K$ auf sich abgebildet werden.

Wenn eine Abbildung $W$ mit einer Abbildung $K$ vertauscht, wenn also $WK = KW$ gilt, so bildet $K$ für jede Zahl $\sigma$ den Nullraum von $W-\sigma{\mathbf 1}$,

$$\mathcal{N}_\sigma=\{v\in\mathcal{V}:(W-\sigma{{\mathbf 1}})v=0\}\ ,$$ (17.2)

auf sich ab. Denn aus $(W-\sigma{{\mathbf 1}})v=0$ folgt $0 = K(W-\sigma{{\mathbf 1}})v= (W-\sigma{{\mathbf 1}}) (K v)$.

Ist die Menge von linearen Abbildungen $K$, die mit $W$ vertauschen, irreduzibel und hat $W$ einen Eigenvektor zu einem Eigenwert $\lambda$, dann ist der zugehörige Nullraum $\mathcal{N}_{\lambda}$ ein invarianter Unterraum und mindestens eindimensional, und folglich ist $\mathcal{N}_{\lambda}=\mathcal{V}$, das heißt $W=\lambda {{\mathbf 1}}$. Demnach gilt das

Schursche Lemma 1   Wenn eine lineare Selbstabbildung $W$ eines Vektorraumes einen Eigenvektor hat und mit einer irreduziblen Menge von linearen Selbstabbildungen $K$ vertauscht, dann ist $W=\lambda {{\mathbf 1}}$ ein Vielfaches der Eins.

Die Bedingung, einen Eigenvektor zu haben, ist für jede lineare Selbstabbildung eines komplexen, endlichdimensionalen Vektorraumes erfüllt, ebenso für alle symmetrischen, reellen Matrizen.

Als Gegenbeispiel hat die Drehung $D_\alpha$

$$D_\alpha \begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos... ...\alpha & \phantom{-}\cos\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix}$$ (17.3)

für $\alpha\ne n \pi$ keinen reellen, eindimensionalen, invarianten Unterraum, ist also reell irreduzibel. Obwohl die Drehung $D_\alpha$ irreduzibel ist, vertauscht sie mit $W=D_\alpha$, obwohl $W$ kein Vielfaches der Eins ist. Es ist eben die Voraussetzung des Schurschen Lemmas, daß $W$ einen Eigenvektor habe, nicht erfüllt.