Zwillingsparadoxon

Wechselseitige Zeitdehnung scheint widersprüchlich, wenn wir beispielsweise Zwillinge bedenken. Der eine Zwilling starte zu Anfang im Ereignis $A$ zum Mars, kehre bei Marsankunft im Ereignis $M$ sofort wieder um und reise zurück. Der andere Zwilling, der Stubenhocker ${\mathcal S}$, warte in Ruhe die Zeit $t$ bis zur Rückkehr ab. Welcher Zwilling, wenn überhaupt einer, ist am Ende im Ereignis $E$ jünger? Für jeden der Zwillinge ist der andere bewegt. Altert nicht jeder widersprüchlicherweise weniger schnell als der andere?

Um zunächst nicht bedenken zu müssen, wie sich das Umkehren auf die Uhr des Reisenden auswirkt, betrachten wir einfachheitshalber statt der Zwillinge gleichförmig bewegte Beobachter: den Stubenhocker $\mathcal{S}$, den Hinreisenden ${\mathcal H}$ und den Rückreisenden  ${\mathcal R}$. Sie durchlaufen im Raumzeitdiagramm 2.10 jeweils die geraden Weltlinien durch $A$ und $E$,

Abbildung 2.10: Reisende

$A$ und $M$ sowie $M$ und $E$ [15].

Bei Marsankunft $M$ trifft ein Lichtstrahl vom Stubenhocker $\mathcal S$ ein. Mit diesem Licht sieht der Hinreisende, daß auf der rotverschobenen Uhr von $\mathcal S$, die sich von ihm entfernt, zwischen dem Start $A$ bis zum Aussenden des Lichtpulses eine Zeit $t_-$ vergangen ist. Die Hinreisedauer $\tau$, die dem Hinreisenden die eigene Uhr bei Eintreffen des Lichtes bei $M$ anzeigt, ist um einen Faktor $\kappa>1$ größer als $t_-$ (2.1).

Um denselben Faktor $\kappa$ ist die Zeit $t_+$ größer, die ab Beginn $A$ auf der Uhr des Stubenhockers vergeht, bis er mit dem Lichtstrahl von der Marsankunft $M$ die Uhr des Hinreisenden die Zeit $\tau$ anzeigen sieht,

$$\tau = \kappa\, t_-\ ,\quad t_+ = \kappa\, \tau\ .$$ (2.20)

Denn bei Bewegung in Sichtlinie ist der Dopplerfaktor gegenseitig (2.8), und die Uhr des Hinreisenden erscheint dem Stubenhocker, von dem sie sich entfernt, genauso rotverschoben wie umgekehrt die Uhr des Stubenhockers dem Hinreisenden.

Der Rückreisende  $\mathcal{R}$ und der Stubenhocker  $\mathcal{S}$ sehen, während sie aufeinander zufliegen, jeweils die Uhr des anderen mit einem Dopplerfaktor $\kappa^\prime<1$ blauverschoben. Die Zeit  $\tau^\prime$, die auf der Uhr von $\mathcal{R}$ zwischen Mars $M$ und Rückkehr vergeht, ist $\kappa^\prime$ mal der Zeit $t-t_-$, die er dabei auf der Uhr des Stubenhockers ablaufen sieht. Mit demselben Faktor ist die Dauer $t-t_+$, in der $\mathcal{S}$ den Rückreisenden die Strecke zwischen $M$ und $A$ durchlaufen sieht, der Zeit $\tau^\prime$ proportional, die  $\mathcal{S}$ währenddessen auf der ihm blauverschobenen Uhr von $\mathcal{R}$ ablaufen sieht,

$$\tau^\prime = \kappa^\prime\,(t-t_-)\ ,\quad t - t_+ = \kappa^\prime\,\tau^\prime\ .$$ (2.21)

Wenn wir jeweils nach $t$ auflösen und $t_-$ und $t_+$ mit (2.20) ersetzen, folgt

$$t=\kappa^{-1}\tau + \kappa^{\prime\,-1}\tau^\prime \quad t=\kappa\tau+ \kappa^\prime\tau^\prime\ ,$$ (2.22)

und, wenn wir wir beide Gleichungen addieren und durch Zwei teilen,

$$t=\frac{1}{2}(\kappa + \kappa^{-1})\,\tau + \frac{1}{2}(\kappa^\prime+\kappa^{\prime\,-1})\,\tau^\prime\; >\;\tau + \tau^\prime \ .$$ (2.23)

Die Wartedauer $t$ zwischen $A$ und $E$ ist größer als die summierten Reisezeiten $\tau + \tau^\prime$, denn die Funktion $x+x^{-1}$ ist für jeden positiven Wert von $x\ne 1$ größer als Zwei.

Wer rastet, der rostet; Reisen hält jung.

Berücksichtigen wir, wie der Dopplerfaktor $\kappa$ von der Geschwindigkeit $v$ abhängt, $\kappa(v)=\sqrt{(1+v)/(1-v)}$ (2.11), so ist die Wartedauer $t=\tau/\sqrt{1-v^2}+\tau^\prime/\sqrt{1-v^{\prime\,2}}$. Sie ist größer als die Lichtlaufdauer $t_+-t_-=2r$ (1.4) für den Hin- und Rückweg, während die Reisezeiten $\tau=r\, \sqrt{1-v^2}/v$ und $\tau^\prime=r\, \sqrt{1-v^{\prime\,2}}/v^\prime$ beliebig kurz sein können. Sind die Geschwindigkeiten bei Hin- und Rückreise gleich, so ist $\tau=\tau^\prime$ und $\kappa^\prime=1/\kappa$ (2.12). Wenn statt des Hinreisenden ${\mathcal H}$ und des Rückreisenden ${\mathcal R}$ ein Zwilling des Stubenhockers zum Mars fliegt, dort umkehrt und dabei die stückweise grade Weltlinie von $A$ über $M$ nach $E$ durchläuft, so altert er von $A$ nach $M$ um $\tau$ wie ${\mathcal H}$ und von $M$ nach $E$ um $\tau^\prime$ wie ${\mathcal R}$, gegenüber denen er jeweils ruht. Insgesamt altert er also während der Reise weniger als der Stubenhocker, vorausgesetzt, daß die biologische Uhr des Reisenden ideal ist und nicht durch die Beschleunigung bei $M$ verstellt oder zerstört wird.

Diese Voraussetzung ist keine wesentliche Einschränkung: die Beschleunigung kann so klein und im Vergleich zur Reisedauer so kurz gehalten werden, daß sich die reale Uhr des Reisenden nicht von einer idealen, beschleunigungsunabhängigen Uhr unterscheidet.

Abbildung 2.11: gleiche Beschleunigung

Auch bei gleicher Beschleunigung können Zwillinge unterschiedlich altern, wie das Diagramm 2.11 zeigt. Beide Zwillinge fliegen hier zunächst bis $A$ miteinander. Der Stubenhocker  ${\mathcal S}$ bremst dort, der Reisende ${\mathcal R}$ fliegt weiter und bremst ebenso bei $M$. Nach einigem Warten beschleunigt er zum Rückflug. Wenn er bei $E$ vorbei kommt, beschleunigt der Stubenhocker ebenso und fliegt gemeinsam mit dem Reisenden weiter. Dabei altern beide trotz gleicher Beschleunigung unterschiedlich, denn bevor sich ihre Wege trennen und nach dem Wiedersehen altern sie gleich, ebenso während beide gemeinsam auf der Erde und dem Mars warten. Die restlichen Teile der Weltlinien bilden das Dreieck $AME$ im Diagramm 2.10, das den Grenzfall von Abbildung 2.11 darstellt, wenn der erste Zwilling sofort abbremst und der zweite Zwilling am Mars nicht wartet [16].

Die Wahrnehmungen der Zwillinge sind nicht gleich und unterscheiden sich nicht nur um die Kraft, die bei $M$ den Impuls des Reisenden ändert. Der Reisende sieht den Stubenhocker eine Zeitlang $\tau$ rotverschoben und eine Zeit  $\tau^\prime$ blauverschoben, während der Stubenhocker den Reisenden eine längere Zeit $t_+=\kappa\tau>\tau$ rotverschoben wahrnimmt und eine kürzere Dauer $\kappa^{\prime} \tau^\prime < \tau^\prime$ blauverschoben. Beide sehen übereinstimmend, daß der Stubenhocker zwischen $A$ und $E$ mehr altert als der Reisende.

Die Zwillinge sehen, wer von ihnen beschleunigt, wenn die Rotverschiebung, mit der sie den anderen wahrnehmen, in Blauverschiebung übergeht. Für den Reisenden ändert sich bei $M$ mit seiner Geschwindigkeit durch Aberration (3.21) auch die Einfallsrichtung der Lichtstrahlen, die er sieht. Dadurch verkleinert sich die Größe, mit der ihm der Stubenhocker erscheint, um den Faktor $\kappa/\kappa^\prime$. Hingegen ändert sich für den Stubenhocker im Ereignis $t_+$ nicht die sichtbare Größe des Reisenden, wenn sich seine Farbe ändert.

Da die Uhren beider Zwillinge bei der Rückkehr verschiedene Zeiten anzeigen, hängt die Zeit, die auf einer Uhr zwischen zwei Ereignissen abläuft, nicht nur von diesen Ereignissen ab, sondern von der Weltlinie, die die Uhr dazwischen durchläuft; so wie in euklidischer Geometrie die Weglänge zwischen zwei Punkten von der Kurve abhängt, die beide Punkte verbindet. Uhren sind wie Kilometerzähler, die Weglänge messen. Kilometerzähler zeigen auf dem Umweg von Hannover über Karlsruhe nach München mehr an als auf der geraden Verbindung, aber der Umweg ist nicht deshalb lang, weil in Karlsruhe kurz das Lenkrad gedreht wird. Das Drehen am Lenkrad bewirkt den Weg, den man fährt, nicht aber die Länge dieses Weges. Die Länge kommt dem Weg selber zu.

Das unterschiedliche Altern der Zwillinge ist so paradox wie in Euklidischer Geometrie die Tatsache, daß im Dreieck jede Seite kürzer als die Summe der beiden anderen Seitenlängen ist. Um Dreiecke zu verstehen, braucht man nicht Differentialgeometrie gekrümmter Räume, selbst wenn man mit Kreisen und Ecken, mit gekrümmten Kurven also, zu tun hat. Ebenso wird die Allgemeine Relativitätstheorie zur Klärung des Zwillingsparadoxons nicht benötigt. Sie kann verwendet werden, gibt aber dieselbe Erklärung und dieselbe Antwort wie die Spezielle Relativitätstheorie: zwischen je zwei genügend benachbarten Ereignissen auf der Weltlinie jedes frei fallenden Beobachters vergeht mehr Zeit als auf allen anderen zeitartigen Weltlinien, die diese beiden Ereignisse verbinden.

Sind die beiden Ereignisse nicht genügend benachbart, sondern weiter voneinander entfernt, kann Gravitation die Komplikation bewirken, daß verschiedene Weltlinien frei fallender Beobachter diese Ereignisse verbinden und daß auf diesen Weltlinien verschieden viel Zeit vergeht, obwohl keiner der Beobachter eine fühlbare Beschleunigung erfahren hat. Es kann etwa eine Raumstation die Erde im freien Fall umkreisen und eine zweite senkrecht von der Erde abgeschossen in freiem Fall während der Aufwärtsbewegung an der ersten vorbeifliegen. Ist die Gipfelhöhe der zweiten Raumstation passend gewählt, so kann sie die erste Raumstation in der Abwärtsbewegung erneut treffen, nachdem diese die Erde umkreist hat. Im senkrechten Fall vergeht dazwischen mehr Zeit als in der Umlaufbahn (Seite ).

Das unterschiedliche Altern der Zwillinge kann man mit Atomuhren messen [17], die in Flugzeugen die Erde so umfliegen, daß sich für den einen Zwilling die Reisegeschwindigkeit zur Umdrehungsgeschwindigkeit der Erde addiert und sich für den anderen subtrahiert. Dabei wirkt sich zudem, wie beim Ortungssystems GPS, die in Flughöhe und auf der Erde unterschiedliche Gravitation auf die Uhren aus.

Uhren, die auf Meereshöhe mit der Erddrehung mitgeführt werden, laufen gleich schnell. Denn die Erddrehung verursacht nicht nur je nach geographischer Breite unterschiedliche Geschwindigkeiten der Uhren, sondern auch eine Abplattung des Erdballs, aufgrund derer die schneller mitbewegte Uhren weiter vom Erdmittelpunkt entfernt sind. Die unterschiedliche Gravitation und die unterschiedliche Geschwindigkeit führen insgesamt dazu, daß auf Meereshöhe mitgeführte Uhren gleich schnell laufen (E.52).