Verkürzung bewegter Maßstäbe

Zwei bewegte Maßstäbe sind gleich lang, wenn sie für einem Schiedsrichter gleich lang sind, der wie im ersten der Raumzeitdiagramme 2.12 stets mitten zwischen ihnen ist. Der Anfang des Maßstabs durchläuft die Weltlinie des jeweiligen Beobachters $\mathcal{B}_0$ oder $\mathcal{B}_v$ und das Ende eine dazu parallele Weltlinie. Die eingezeichneten Maßstäbe sind, wie der Schiedsrichter bestätigt, gleich lang, denn in den Ereignissen $\tau$ und $\tau^\prime$, die für den Schiedsrichter gleichzeitig, in gleicher Entfernung und in entgegengesetzter Richtung stattfinden, stimmen die Enden beider Maßstäbe überein [18].

Abbildung 2.12: Verkürzung bewegter Maßstäbe

Ein bewegter Maßstab ist um denselben Faktor $\sqrt{1-v^2}$ kürzer, um den bewegte Uhren langsamer gehen, als ein gleicher, ruhender Maßstab. Dies zeigt das mittlere der Raumzeitdiagramme 2.12, in dem Hilfslinien weggelassen worden sind und in dem die Strecke von $t$ zu $\tau$ eingezeichnet ist, die aus Ereignissen besteht, die für den Beobachter $\mathcal{B}_0$ gleichzeitig sind. Zu dieser Zeit reicht sein Maßstab von $t$ bis $\tau$ und die rechten Enden beider Maßstäbe stimmen zu diesem Zeitpunkt überein. Der bewegte Maßstab ist kürzer, denn die Weltlinie seines linken Endes schneidet die Strecke von $t$ zu $\tau$ im Punkt $q$.

Da die Dreiecke $t\, O\, \tau$ und $t\, \tau^\prime\, q$ ähnlich sind, verhält sich die Länge $l_v$ der Strecke $\tau\, q$ zur Länge $l$ der Strecke $\tau\, t$ wie die Länge der Strecke $O\,\tau^\prime$ zur Länge der Strecke $O\, t$. Es ist aber $\tau=\sqrt{1-v^2}\,t$ die Länge der Strecke $O\,\tau^\prime$ und $t$ die Länge der Strecke $O\, t$. Also hat ein mit Geschwindigkeit $v$ bewegter Maßstab die Länge

$$l_v=\sqrt{1-v^2}\,l\ ,$$ (2.24)

wenn ihn ein Beobachter mit seinem gleichen, ruhenden Maßstab der Länge $l$ vergleicht.

Wie das rechte Raumzeitdiagramm 2.12 zeigt, ist die Verkürzung bewegter Maßstäbe

Abbildung 2.13: beschleunigte Raketen

wechselseitig. Für den Beobachter $\mathcal{B}_v$ sind die Ereignisse $\tau^\prime$ und $t^\prime$ gleichzeitig und der Maßstab von $\mathcal{B}_0$ kürzer.

Werden zwei Raumschiffe, die wir als Punkte idealisieren, und die zunächst in einem Abstand $L$ ruhen, einige Zeit auf gleiche Art beschleunigt, so daß ihre Weltlinien wie im Diagramm 2.13 durch eine Verschiebung um $L$ auseinander hervorgehen, so haben sie für einen ruhenden Beobachter jederzeit diesen Abstand $L$. Nach Ende der Beschleunigung durchlaufen sie mit einer Geschwindigkeit $v$ gerade Weltlinien. Messen die Raumschiffe dann ihren Abstand mit einem mitbewegten Maßstab, so erhalten sie einen Wert $l$. Für den ruhenden Beobachter ist dieser Maßstab bewegt und hat die kontrahierte Länge $\sqrt{1-v^2}l$. Dabei ist $\sqrt{1-v^2}l=L$, da der Maßstab von einem Raumschiff zum anderen reicht. Es ist also $l=L/\sqrt{1-v^2}$ und größer als $L$.

Ein zwischen die Raumschiffe gespanntes Seil, wie es in [19, Kapitel 9] bedacht wird, das ursprünglich zum Zerreißen gespannt ist, reißt daher augenblicklich, wenn beide Raumschiffe und das Seil gleich beschleunigt werden.^2.2