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Längenparadoxon

So wie Zeitdehnung zum Zwillingsparadoxon führt, so ergibt Längenverkürzung einen scheinbaren Widerspruch, wenn man durchdenkt, ob ein Auto in eine gleich große Garage paßt, in die es schnell hinein fährt. Für den Garagenbesitzer ruht die Garage und das bewegte Auto ist kürzer und paßt in die Garage. Aber aus Sicht des Autofahrers ist die Garage kürzer und das Auto paßt nicht hinein.

Das zeigen die Raumzeitdiagramme 2.12, in denen $ {\mathcal B}_0$ und die dazu parallele Linie den Garagenbesitzer am Garagentor und die Garagenwand markieren und die Weltlinie $ {\mathcal B}_v$ und die dazu parallele Linie den Atofahrer an der vordere Stoßstange und die hintere Stoßstange des Autos.

Denken wir uns einen roten Lichtblitz, der von einer Lichtschranke im Ereignis $ \tau$ ausgesendet wird, wenn die vordere Stoßstange die Garagenwand erreicht, und einen grünen Lichtblitz, der im Ereignis $ \tau^\prime$ ausgesendet wird, wenn die hintere Stoßstange das Garagentor erreicht. Der Schiedsrichter sieht diese Lichtblitze gleichzeitig und da auch die Lichtlaufzeiten von $ \tau$ und $ \tau^\prime$ zu ihm gleich sind, bestätigt er, daß Garage und Auto gleich lang sind.

Der Garagenbesitzer $ \mathcal{B}_0$ sieht den roten Lichtblitz von $ \tau$ später als den grünen. Berücksichtigt er die Lichtlaufzeit, so stellt er fest, daß die vordere Stoßstange die Garagenwand im Ereignis $ \tau$ zur Zeit $ t$ erreicht hat, also nach dem Ereignis  $ \tau^\prime$, in dem die hintere Stoßstange das Garagentor durchfuhr. Für ihn hat zur Zeit $ t$ das Auto in die Garage gepaßt, es ist kürzer.

Der Autofahrer $ \mathcal{B}_v$ sieht den grünen Lichtblitz $ \tau^\prime$ vom Heck des Autos später als den roten. Berücksichtigt er die Lichtlaufzeit, so stellt er fest, daß der grüne Lichtblitz $ \tau^\prime$ zur Zeit $ t^\prime$ ausgelöst wurde, also nach dem roten Lichtblitz bei $ \tau$. Für ihn hat erst die vordere Stoßstange die Garagenwand erreicht und danach die hintere das Tor, also ist für ihn die Garage kürzer.

Daran ist nichts paradox. Gegeneinander bewegte Beobachter brauchen nicht darin übereinzustimmen, in welcher Reihenfolge zwei Ereignisse stattfinden, wenn es sich bei den Ereignissen nicht um Ursache und Wirkung handelt, wie in diesem Beispiel die Durchfahrt des Hecks durch das Garagentor und der Aufprall der Stoßstange auf die Garagenwand.




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