Orts- und Zeitkoordinaten von Ereignissen

Die Ereignisse $E$ in der Raumzeit kann man einfach mit den Werten $(T_+,T_-,\theta,\varphi)$ benennen,^2.3 die ein gleichförmig bewegter Beobachter $\mathcal{B}$ mißt, indem er einen Lichtpuls zu $E$ aussendet und von $E$ empfängt und dabei die zugehörigen Zeiten $T_-$ und $T_+$ mit seiner Uhr mißt und die Richtungswinkel $\theta$ und $\varphi$ des auslaufenden Lichtpulses bestimmt.

An solchen Koordinaten ist zunächst nur wichtig, daß sie die Ereignisse in der Raumzeit eindeutig bezeichnen. Andere Koordinaten, die mit den Lichtkoordinaten umkehrbar eindeutig zusammenhängen, sind ebenso denkbar.

Insbesondere hängen die Lichtkoordinaten auf einfache Art mit inertialen Koordinaten $(t,x,y,z)$ zusammen, in denen gleichförmig bewegte Teilchen gerade Koordinatenlinien durchlaufen.

Als den Abstand $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=(T_+-T_-)/2$ definieren wir die Hälfte der Laufzeit, die ein Lichtpuls von $\mathcal{B}$ zum Ereignis $E$ hin und wieder zurück braucht, dabei ist die Lichtgeschwindigkeit $c$ einfachheitshalber 1. Als Zeit $t$, zu der $E$ stattgefunden hat, vereinbaren wir den Mittelwert von $T_+$ und $T_-$,

$$t = \frac{T_++T_-}{2}\, , \quad r=\frac{T_+-T_-}{2}\ .$$ (2.25)

Der Lichtpuls von $\mathcal{B}$ zum Ereignis $E$ kommt aus derselben Richtung zurück, in die er ausgesendet war. Denn der Beobachter dreht sich nicht und verwendet Bezugsrichtungen,

Abbildung: Kugelkoordinaten

die sich im Laufe der Zeit nicht ändern. Die Winkel $\theta$ und $\varphi$ des zu $E$ auslaufenden Lichtpulses sowie der Abstand $r$ sind die Kugelkoordinaten des Ortes

$$\vec{x}= \begin{pmatrix}x\\ y\\ z \end{pmatrix} = r \,\vec{e}_{\t... ...\theta \cos \varphi\\ \sin \theta \sin \varphi\\ \cos \theta\\ \end{pmatrix}\ .$$ (2.26)

Für Ereignisse auf der Weltlinie des Beobachters $\mathcal{B}$ gilt $T_+=T_-$, also $\vec{x}=0$, insbesondere hat der Ursprung $O$ die Koordinaten $(0,0,0,0)$.

Sendet $\mathcal{B}$ zur Zeit $t_0$ einen Lichtpuls in Richtung $\vec{e}_{\theta\,\varphi}$ aus, so durchläuft der Lichtpuls Ereignisse, für die $T_-$, $\theta$ und $\varphi$ konstant sind,

$$t=\frac{T_++t_0}{2} \ , \quad \vec{x}(t)= \frac{T_+ -t_0}{2}\, \vec{e}_{\theta,\varphi}\ ,$$ (2.27)

oder, wenn wir die Variable $T_+$ durch $t$ ausdrücken,

$$\vec{x}(t) = \vec{e}_{\theta\,\varphi} \cdot (t-t_0)\ .$$ (2.28)

Dies ist eine durch $t$ parametrisierte Weltlinie, die zur Zeit $t_0$ die Weltlinie des Beobachters schneidet. In den Koordinaten $(t,x,y,z)$ ist sie eine gerade Weltlinie, die mit Lichtgeschwindigkeit $c=1$ durchlaufen wird, denn die Geschwindigkeit $\vec{v}=\frac{d\vec{x}}{dt}$ ist ein Einheitsvektor. Die Gleichung gilt auch für $t<t_0$ für einen Lichtpuls, der aus der Gegenrichtung $-\vec{e}_{\theta\,\varphi}$ einläuft. Denn für ihn ist $T_+ = t_0$ konstant und $t=(t_0 +T_-)/2$ sowie $\vec{x}= -\vec{e}_{\theta\,\varphi}(t_0-T_-)/2$. Während die Lichtkoordinaten $(T_+,T_-,\theta,\varphi)$ eines durchlaufenden Lichtpulses in dem Ereignis unstetig sind, in dem er die Weltlinie des Beobachters kreuzt, sind die kartesischen Koordinaten $(t,x,y,z)$ stetig.

Durch Verschieben der Weltlinie um einen Vektor $\vec{x}_0+\vec{e}_{\theta\,\varphi}t_0$ erhält man allgemeiner die Weltlinien von Lichtpulsen, die zur Zeit $t=0$ den Ort $\vec{x}_0$ durchlaufen.

$$\vec{x}(t) = \vec{e}_{\theta\,\varphi} \cdot t + \vec{x}_0$$ (2.29)

Durchläuft ein gleichförmig bewegtes Teilchen ${\mathcal T}$ zur Zeit $t=0$ den Ort $\vec{x}=0$, und entfernt es sich in Richtung $\vec{e}_{\theta\,\varphi}$, so gilt für Ereignisse auf seiner Weltlinie $T_+=\kappa^2 T_-$ (2.9), also

$$t=(\kappa^2+1)\frac{T_-}{2}\, ,\quad \vec{x}= (\kappa^2-1)\frac{T_-}{2}\, \vec{e}_{{\theta\,\varphi}}\, ,$$ (2.30)

oder, wenn wir $T_-$ durch $t$ ausdrücken,

$$\vec{x}(t)=\vec{v}\,t\, \vec{v}=\frac{d\vec{x}}{dt}=\frac{\kappa^2-1}{\kappa^2+1}\, \vec{e}_{{\theta\,\varphi}}\ .$$ (2.31)

Das Teilchen ${\mathcal T}$ durchläuft also gleichförmig mit Geschwindigkeit (2.11)

$$v=\frac{\kappa^2-1}{\kappa^2+1}$$ (2.32)

Ereignisse, die in $(t,x,y,z)$-Koordinaten auf einer geraden Weltlinie liegen. Die Gleichung $\vec{x}=\vec{v}t$ gilt auch mit unveränderter Geschwindigkeit $\vec{v}$ für $t<0$, während sich ${\mathcal T}$ aus Gegenrichtung $-\vec{e}_{{\theta,\varphi}}$ nähert. Denn während es sich nähert, gilt $T_+=\kappa^{-2}T_-$ (2.12).

Durch Verschieben der Weltlinie (2.31) um $\vec{x}_0$ erhält man allgemeiner die Weltlinie eines gleichförmig mit Geschwindigkeit $\vec{v}$ bewegten Teilchens, das zur Zeit $t=0$ den Ort $\vec{x}_0$ durchläuft,

$$\vec{x}(t)= \vec{v}\cdot t + \vec{x}_0\ .$$ (2.33)

Es sind also die Koordinaten $(t,x,y,z)$, die wir aus den Zeiten $T_+$ und $T_-$ sowie den Winkeln $\theta$ und $\varphi$ berechnen, Koordinaten eines Inertialsystems, in dem gleichförmig bewegte Teilchen gerade Koordinatenlinien durchlaufen.