Uhrzeit

Auf einer gleichförmig mit Geschwindigkeit $\vec{v}=(v_x,v_y,v_z)$ bewegten Uhr $\mathcal{U}$, die den Ursprung $O$ mit Koordinaten $(0,0,0,0)$ und ein Ereignis $E$ mit Koordinaten $(t,x,y,z)=t\,(1,v_x,v_y,v_z)$ durchläuft, vergeht zwischen beiden Ereignissen die Zeit $\tau$, $\tau^2=T_+T_-$ (2.7). Wegen (2.25) gilt

$$T_+=t+r\, ,\quad T_- = t-r\ , r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\ .$$ (2.34)

und demnach

$$\begin{split}\tau^2=(t+r)\,(t-r)=t^2-r^2=t^2-x^2-y^2-z^2\\ = t^2\,(1-v_x^2-v_y^2-v_z^2)= t^2\,(1-v^2)\ . \end{split}$$ (2.35)

Folglich vergeht auf $\mathcal{U}$ zwischen den Ereignissen $(0,0,0,0)$ und $(t,x,y,z)$ die Zeit

$$\tau=\sqrt{t^2-x^2-y^2-z^2}=\sqrt{1-v^2}\,t\ .$$ (2.36)

Insbesondere würden lichtschnelle Uhren, wenn es sie gäbe, stehen. Dazu paßt, daß die elektromagnetische Welle eines Lichtpulses auf seiner Weltlinie nicht schwingt, sondern konstante Phase hat (7.57), und daß lichtschnelle Teilchen nicht zerfallen können (3.57).

Die Zeit zwischen zwei Ereignissen hängt nicht von Einzelheiten der Uhr ab, mit der sie gemessen wird. Die Zeit ist ein Maß für Entfernung, also eine geometrische Struktur, in der Raumzeit. Zeitlich gleich weit vom Ursprung entfernte Ereignisse findet man nicht wie in der nichtrelativistischen Physik in einer Ebene mit konstantem $t$ und auch nicht wie in der Euklidischen Geometrie auf einer Kugelschale mit konstantem $t^2 +x^2+y^2+z^2$, sondern auf einem Hyperboloid mit konstantem $t^2-x^2 -y^2-z^2=\tau^2$. Das Quadrat der zeitlichen Entfernung zweier Ereignisse unterliegt nicht dem Satz des Pythagoras, sondern dem Satz des Minkowski.

Die Uhrzeit hängt nicht davon ab, welcher Beobachter Koordinaten für das Ereignis ermittelt, in dem die Uhr $\mathcal{U}$ die Zeit $\tau$ anzeigt. Wenn ein anderer Beobachter den Ursprung durchläuft und die Zeiten $T_+^\prime$ und $T_-^\prime$ und die Winkel $\theta^\prime$ und $\varphi^\prime$ mißt und in Raumzeitkoordinaten $(t^\prime, x^\prime, y^\prime, z^\prime)$ umrechnet, so muß $\tau^2=T_+T_-$ und $\tau^2=T_+^\prime T_-^\prime$ gelten

$$t^2-x^2-y^2-z^2=t^{\prime\, 2}-x^{\prime\, 2}-y^{\prime\, 2}-z^{\prime\, 2}\ .$$ (2.37)