Dopplereffekt

Wenn sich eine Uhr $\mathcal{U}$ mit Geschwindigkeit $v$ in Richtung $\vec{e}$ mit einem Winkel $\theta$ zur Sichtlinie bewegt, dann vergrößert sich während eines kurzen Augenblicks $dt$ ihr Abstand zum Beobachter $\mathcal{B}$, dessen Koordinaten $t$, $r$ und $\theta$ wir verwenden, um $dr=v\cos\theta\, dt$. Damit vergrößert sich die Laufzeit des Lichtes zu ihm, und Lichtpulse $\underline{l}$ und $\overline{l}$ von zwei Ereignissen auf der Uhr, die um $dt$ zeitlich versetzt starten, erreichen den Beobachter (im Maßsystem $c=1$) mit einer Zeitdifferenz von $\tau_{\mathcal{B}}= dt+ v \cos \theta\, dt$.

Auf der bewegten Uhr $\mathcal{U}$ vergeht zwischen dem Aussenden der beiden Lichtpulse die Zeit $\tau_{\mathcal{U}}=\sqrt{1-v^2}\,dt$ (2.36). Der Beobachter $\mathcal{B}$ sieht folglich auf der Uhr $\mathcal{U}$ die Zeit

$$\tau_{\mathcal{U}}=\frac{\sqrt{1-v^2}}{1+v\cos\theta}\,\tau_{\mathcal{B}}$$ (2.38)

ablaufen, während auf seiner eigenen, gleichen Uhr die Zeit $\tau_{\mathcal{B}}$ vergeht. Gleichung (2.11), $\tau_{\mathcal{B}} = \kappa\tau_{\mathcal{U}}$, ist der Spezialfall, in dem sich die Uhr in Sichtlinie mit $\cos \theta = 1$ entfernt.^2.4

Schwingt in dieser Zeit ein mit der Uhr mitgeführter Sender $n$-mal mit einer Frequenz $\nu_{\mathcal{U}}=n/\tau_{\mathcal{U}}$, so sieht der Beobachter diese $n$ Schwingungen, während auf seiner Uhr die

Abbildung 2.15: Dopplereffekt

Zeit $\tau_{\mathcal{B}}$ vergeht. Er beobachtet die Frequenz $\nu_{\mathcal{B}}= n /\tau_{\mathcal{B}}$,

$$\nu_{\mathcal{B}}=\frac{\sqrt{1-v^2}}{1+v\cos\theta}\,\nu_{\mathcal{U}}\ .$$ (2.39)

Ist $v \cos\theta > \sqrt{1-v^2}-1$, so erscheint die Uhr langsamer und die Frequenz des Lichtes der Uhr ist zu geringeren Werten in den roten Bereich verschoben.

Bewegt sich die Uhr mit $v \cos\theta < \sqrt{1-v^2}-1$ auf den Beobachter zu, so erscheint sie schneller und ihr Licht ist blauverschoben. Diese Änderung der wahrgenommenen Frequenz durch Bewegung der Quelle gegenüber dem Empfänger ist der Dopplereffekt. Er wird zur Geschwindigkeitsmessung alltäglich verwendet.

Bei Bewegung quer zur Sichtlinie mit $\cos\theta = 0$ zeigt der transversalen Dopplereffekt, $\tau_{\mathcal U}=\sqrt{1-v^2}\,\tau_{\mathcal B}$, unmittelbar die Verlangsamung bewegter Uhren, denn die Länge der Laufstrecke zum Beobachter verändert sich gerade nicht.

Dopplerverschiebung ist nur bei Bewegung in Sichtlinie wechselseitig gleich. Sendet $\mathcal{B}$ zwei um $dt=\hat{\tau}_{\mathcal B}$ versetzte Lichtpulse zur Uhr $\mathcal{U}$, so erreicht der zweite die Uhr um $dt^\prime = dt + v \cos\theta dt^\prime$, also um $dt^\prime= \tau/(1-v\cos\theta)$, später, da sich die Laufstrecke um $v\cos\theta dt^\prime$ verlängert hat. Dabei vergeht auf der Uhr $\mathcal U$ die Zeit $\hat{\tau}_{\mathcal U}= \sqrt{1-v^2}dt^\prime$. Die Uhr $\mathcal{U}$ sieht also von $\mathcal{B}$ Frequenzen

$$\hat{\nu}_{\mathcal{U}}=\frac{1-v\cos\theta}{\sqrt{1-v^2}}\,\hat{\nu}_{\mathcal{B}}\ .$$ (2.40)

Dies stimmt mit $\hat{\nu}_{\mathcal{U}}={\sqrt{1-v^2}}/({1+v\cos\theta^\prime})\,\hat{\nu}_{\mathcal{B}}$ (2.39) überein, wobei $\theta^\prime$ den durch Aberration (3.21) geänderten Winkel zur Sichtinie mit der Richtung bezeichnet, in die $\mathcal U$ den Beobachter $\mathcal B$ sich entfernen sieht.