Scheinbare Überlichtgeschwindigkeit

Aus dem Quasar 3C273 strömt Gas, dessen Bewegung quer zur Sichtlinie zu einer auf der Erde meßbaren Winkelgeschwindigkeit führt [20, Kapitel 11]. Multipliziert man die beobachtete Winkelgeschwindigkeit mit der bekannten Entfernung, so erhält man als Geschwindigkeit quer zur Sichtlinie die siebenfache Lichtgeschwindigkeit. Der Quasar scheint also Teilchen mit Überlichtgeschwindigkeit zu emittieren.

Diese Schlußfolgerung ist falsch, denn das Produkt von Abstand und beobachteter Winkelgeschwindigkeit ist nicht die Geschwindigkeit quer zur Sichtlinie.

Die Uhr $\mathcal{U}$ in Abbildung 2.15 bewegt sich in der Zeit $dt$ um $v \sin \theta\, dt=r\,d \theta$ quer zur Sichtlinie, wobei $r$ ihren augenblicklichen Abstand bezeichnet. Die Lichtpulse $\underline{l}$ und $\overline{l}$ mit der Winkeldifferenz $d \theta$ treffen beim Beobachter mit Zeitdifferenz $\tau_{\mathcal{B}}= dt+ v \cos \theta\, dt$ beim Beobachter ein, da $\overline{l}$ um $dt$ versetzt startet und einen um $dr=v\cos\theta\, dt$ größeren Abstand durchlaufen muß. Also ist die beobachtete Winkelgeschwindigkeit, $\omega_{\mathcal{B}}=d\theta/\tau_{\mathcal{B}}$,

$$\omega_{\mathcal{B}}=\frac{v\sin\theta}{r (1+v\cos \theta)}\ .$$ (2.41)

Wenn wir diese beobachtete Winkelgeschwindigkeit mit dem Abstand $r$ multipliziert, erhalten wir die scheinbare Geschwindigkeit quer zur Sichtlinie

$$u=\frac{v\sin\theta}{1+{v} \cos\theta}\ .$$ (2.42)

Sie wird maximal für den Winkel $\cos \theta=-v$ und beträgt dann ${v}/{\sqrt{1-v^2}}$. Sie kann beliebig groß werden, obwohl $v$ kleiner als die Lichtgeschwindigkeit $c=1$ ist.