Skalarprodukt und Längenquadrat

Die bei der Uhrzeit (2.36) auftretende Differenz von Quadraten spielt eine zentrale Rolle in der relativistischen Physik. Um sie kürzer schreiben zu können, führen wir folgendes Skalarprodukt von Vierervektoren wie $v=(v^0, v^1, v^2, v^3)$ und $w=(w^0,w^1,w^2,w^3)$ ein^2.5

$$v\cdot w := v^0w^0-v^1w^1-v^2w^2-v^3w^3\ .$$ (2.43)

Als Längenquadrat eines Vierervektors $w$ definieren wir

$$w^2= w\cdot w=(w^0)^2-(w^1)^2-(w^2)^2-(w^3)^2\ .$$ (2.44)

Das Skalarprodukt (2.43) ist reell, symmetrisch und linear

$$v\cdot w = w\cdot v\, ,$$ (2.45)

$$u\cdot (v+w)=u\cdot v+u\cdot w\ ,\quad v\cdot(a\,w)=a\,(v\cdot w) \quad \forall a\in {\mathbb{R}}\, ,$$ (2.46)

aber nicht definit. Lichtartige Vektoren haben Längenquadrat 0, ohne daß alle Komponenten verschwinden. Das Skalarprodukt ist nichtentartet: es verschwindet das Skalarprodukt eines Vektors $v$ nur dann mit allen anderen Vektoren, wenn er selbst verschwindet.

Das Skalarprodukt zweier Vektoren $u$ und $v$ ist eine Differenz von Längenquadraten

$$u\cdot v = \frac{1}{4}\big ( (u+v)^2 - (u-v)^2\big )\ .$$ (2.47)

Da verschiedene Beobachter zwar unterschiedliche Koordinaten, aber dieselben Längenquadrate von Vierervektoren ermitteln (2.37), hängen auch Skalarprodukte nicht vom Koordinatensystem des jeweiligen Beobachters ab.

Ist das Längenquadrat $w^2$ positiv, nennen wir $w$ zeitartig; ist es negativ, so nennen wir $w$ raumartig; ist $w^2=0\, , w\ne 0\, ,$ so heißt $w$ lichtartig.

Ein zeit- oder lichtartiger Vektor $w$ heißt zukunftsgerichtet, wenn die Komponente $w^0$ positiv ist, ansonsten vergangenheitsgerichtet.

Zwei Ereignisse $U$ und $W$ sind zueinander raumartig, wenn der entsprechende Differenzvektor, dessen Komponenten die Koordinatendifferenzen der Ereignisse enthält

$$w_{WU}=(t_W - t_U, x_W-x_U, y_W-y_U, z_W-z_U)$$ (2.48)

und der in unseren Diagrammen von $U$ nach $W$ zeigt, raumartig ist. Entsprechend sind zueinander lichtartige oder zeitartige Ereignispaare definiert. Eine Ursache $U$ kann nur dann ein Ergebnis $W$ bewirken, wenn $w_{WU}$ zukunftsgerichtet zeit- oder lichtartig ist.

Ereignisse auf der Weltlinie eines Lichtpulses sind zueinander lichtartig.

Die Ereignisse auf der Weltlinie eines Beobachters sind zueinander zeitartig, da Beobachter langsamer als Licht sind. Auf solch einer geraden Weltlinie gibt das Längenquadrat des Differenzvektors zweier zueinander zeitartiger Ereignisse das Quadrat der Zeit an, die auf einer mitgeführten Uhr zwischen den beiden Ereignissen vergeht.