Senkrecht

Die Senkrechte $\mathcal{B}_{\perp}$, die eine Gerade $\mathcal{B}$ in einem Punkt $T$ schneidet, konstruiert man, indem man auf $\mathcal{B}$ zwei Punkte, $T_+$ und $T_-$, gleichen Abstandes zu $T$ wählt und dann einen weiteren Punkt $E$ bestimmt, der von $T_+$ und $T_-$ gleich weit entfernt liegt. Die Senkrechte $\mathcal{B}_{\perp}$ ist die Verbindungsgerade von $T$ und $E$.

Dies gilt in Euklidischer Geometrie wie in der Raumzeit, allerdings ist in der Raumzeit der Abstand durch $\tau$ (2.36) gegeben. Sind $T_-$ und $T_+$ zwei Ereignisse auf der Weltlinie eines Beobachters $\mathcal{B}$ und liegt $T$ mitten zwischen ihnen, dann liegen die Schnittpunkte $E$ und $E^\prime$ der Lichtstrahlen durch $T_-$ und $T_+$ auf der Senkrechten durch $T$, denn $E$ und $E^\prime$ sind von $T_-$ genauso weit wie von $T_+$ entfernt, nämlich um $\tau=0$, da $\tau$ für lichtartige Abstände verschwindet.

Die Weltlinie $\mathcal{B}$ besteht für den Beobachter aus gleichortigen Ereignissen. Die Ereig-

Abbildung 2.16: senkrechte Vektoren mit Hyperbel

nisse auf $\mathcal{B}_{\perp}$ sind für ihn gleichzeitig (Abbildung 1.5). Es stehen daher die Linien gleichortiger Ereignisse senkrecht auf den Linien gleichzeitiger Ereignisse.

Mit dem Vektor $v$ von $T_-$ zu $T$ und von $T$ zu $T_+$ und dem Vektor $w$ von $T$ zu $E$ schreibt sich der Lichtstrahl von $T_-$ zu $E$ als $v+w$. Der Vektor $v-w$ ist der Lichtstrahl zurück von $E$ zu $T_+$. Da die Längenquadrate der lichtartigen Vektoren $v+w$ und $v-w$ verschwinden,

$$\begin{aligned}0=&(v + w)^2=v^2 + 2v\cdot w + w^2\ ,\\ 0=&(v - w)^2=v^2 - 2v\cdot w + w^2\ , \end{aligned}$$

gilt $v^2=-w^2$, und das Skalarprodukt

$$v\cdot w = 0$$ (2.50)

der zueinander senkrechten Vektoren verschwindet.

Das Längenquadrat $v^2$ ist das Quadrat der Zeit, die zwischen den Ereignissen $T_-$ und $T$ auf der Weltlinie des Beobachters vergeht, und diese Zeit ist die Lichtlaufzeit und demnach die Entfernung vom Beobachter zum Ereignis $E$. Wegen $v^2=-w^2$ ist daher $-w^2$ das Quadrat der Entfernung von $E$ zum Beobachter.

Senkrecht 1   Der Vektor $w_{ET}$ von einem Ereignis $T$ auf der Weltlinie eines gleichförmig bewegten Beobachter zu einem für ihn gleichzeitigen Ereignis $E$ steht senkrecht im Sinne des Skalarproduktes $(\ref{skalar})$ auf der Weltlinie des Beobachters. Das negative Längenquadrat $-w_{ET}{}^2$ ist das Quadrat der Entfernung zwischen $E$ und dem Beobachter.

Die Hyperbel $\mathcal{H}$ durch $T$ mit Ursprung $T_-$ ist dadurch definiert, daß man zu ihren Punkten von $T_-$ durch gleichlange Verschiebungen $u(s)$ gelangt,

$$u(s)=\sqrt{1+s^2}\,v + s\,w\ ,\quad u(s)^2=v^2\ ,$$ (2.51)

wobei $s$ die reellen Zahlen durchläuft. Insbesondere gehört der Punkt $T$ auf der Hyperbel zu $s=0$. Da $u^2$ nicht von $s$ abhängt, sind alle Punkte auf $\mathcal{H}$ gleich weit von $T_-$ entfernt.

Jeder Vektor von $T_-$ zu einem Punkt $A$ auf der Senkrechten $\mathcal{B}_{\perp}$ ist von der Form $x(s)=v+s w$, wobei $s$ eine reelle Zahl ist. Er ist wegen $v\cdot w = 0$ gleich lang wie der Vektor $-v+s w$ von $T_+$ zu $A$.

Da $\sqrt{1+s^2}$ für $s\ne 0$ größer als $1$ ist, liegen außer $T$ alle Punkte von $\mathcal{H}$ auf der von $T_-$ abgewandten Seite von $\mathcal{B}_{\perp}$, denn es ist $u(s)=x(s)+a(s)v$ mit positivem $a(s)$. Da zudem $\mathcal{B}_{\perp}$ und $\mathcal{H}$ den Punkt $T$ durchlaufen, berühren sie sich dort und $\mathcal{B}_{\perp}$ ist die Tangente an die Hyperbel $\mathcal{H}$ im Punkt $T$. Sie steht senkrecht auf dem Ortsvektor von $T_-$ nach $T$.

Dies folgt auch, wenn man $u(s)^2$ nach $s$ differenziert. Für den Tangentialvektor $\frac{du}{ds}$ erhält man

$$u(s)\cdot u(s)= \Rightarrow\, \frac{du}{ds}\cdot u = 0\ .$$ (2.52)