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Senkrecht

Die Senkrechte $ \mathcal{B}_{\perp}$, die eine Gerade $ \mathcal{B}$ in einem Punkt $ T$ schneidet, konstruiert man, indem man auf $ \mathcal{B}$ zwei Punkte, $ T_+$ und $ T_-$, gleichen Abstandes zu $ T$ wählt und dann einen weiteren Punkt $ E$ bestimmt, der von $ T_+$ und $ T_-$ gleich weit entfernt liegt. Die Senkrechte $ \mathcal{B}_{\perp}$ ist die Verbindungsgerade von $ T$ und $ E$.

Dies gilt in Euklidischer Geometrie wie in der Raumzeit, allerdings ist in der Raumzeit der Abstand durch $ \tau$ (2.36) gegeben. Sind $ T_-$ und $ T_+$ zwei Ereignisse auf der Weltlinie eines Beobachters $ \mathcal{B}$ und liegt $ T$ mitten zwischen ihnen, dann liegen die Schnittpunkte $ E$ und $ E^\prime$ der Lichtstrahlen durch $ T_-$ und $ T_+$ auf der Senkrechten durch $ T$, denn $ E$ und $ E^\prime$ sind von $ T_-$ genauso weit wie von $ T_+$ entfernt, nämlich um $ \tau=0$, da $ \tau$ für lichtartige Abstände verschwindet.

Die Weltlinie $ \mathcal{B}$ besteht für den Beobachter aus gleichortigen Ereignissen. Die Ereig-

Abbildung 2.16: senkrechte Vektoren mit Hyperbel
\begin{wrapfigure}{l}{51.7mm}\setlength{\unitlength}{0.175pt}
\ifx\plotpoint\...
...l{em:lineto}}
\put(834,662){\special{em:lineto}}
}
\end{picture}\end{wrapfigure}
nisse auf $ \mathcal{B}_{\perp}$ sind für ihn gleichzeitig (Abbildung 1.5). Es stehen daher die Linien gleichortiger Ereignisse senkrecht auf den Linien gleichzeitiger Ereignisse.

Mit dem Vektor $ v$ von $ T_-$ zu $ T$ und von $ T$ zu $ T_+$ und dem Vektor $ w$ von $ T$ zu $ E$ schreibt sich der Lichtstrahl von $ T_-$ zu $ E$ als $ v+w$. Der Vektor $ v-w$ ist der Lichtstrahl zurück von $ E$ zu $ T_+$. Da die Längenquadrate der lichtartigen Vektoren $ v+w$ und $ v-w$ verschwinden,

\begin{equation*}\begin{aligned}0=&(v + w)^2=v^2 + 2v\cdot w + w^2\ ,\\ 0=&(v - w)^2=v^2 - 2v\cdot w + w^2\ , \end{aligned}\end{equation*}

gilt $ v^2=-w^2$, und das Skalarprodukt

$\displaystyle v\cdot w = 0$ (2.50)

der zueinander senkrechten Vektoren verschwindet.

Das Längenquadrat $ v^2$ ist das Quadrat der Zeit, die zwischen den Ereignissen $ T_-$ und $ T$ auf der Weltlinie des Beobachters vergeht, und diese Zeit ist die Lichtlaufzeit und demnach die Entfernung vom Beobachter zum Ereignis $ E$. Wegen $ v^2=-w^2$ ist daher $ -w^2$ das Quadrat der Entfernung von $ E$ zum Beobachter.

Senkrecht 1   Der Vektor $ w_{ET}$ von einem Ereignis $ T$ auf der Weltlinie eines gleichförmig bewegten Beobachter zu einem für ihn gleichzeitigen Ereignis $ E$ steht senkrecht im Sinne des Skalarproduktes % latex2html id marker 72669
$ (\ref{skalar})$ auf der Weltlinie des Beobachters. Das negative Längenquadrat $ -w_{ET}{}^2$ ist das Quadrat der Entfernung zwischen $ E$ und dem Beobachter.

Die Hyperbel $ \mathcal{H}$ durch $ T$ mit Ursprung $ T_-$ ist dadurch definiert, daß man zu ihren Punkten von $ T_-$ durch gleichlange Verschiebungen $ u(s)$ gelangt,

$\displaystyle u(s)=\sqrt{1+s^2}\,v + s\,w\ ,\quad u(s)^2=v^2\ ,$ (2.51)

wobei $ s$ die reellen Zahlen durchläuft. Insbesondere gehört der Punkt $ T$ auf der Hyperbel zu $ s=0$. Da $ u^2$ nicht von $ s$ abhängt, sind alle Punkte auf $ \mathcal{H}$ gleich weit von $ T_-$ entfernt.

Jeder Vektor von $ T_-$ zu einem Punkt $ A$ auf der Senkrechten $ \mathcal{B}_{\perp}$ ist von der Form $ x(s)=v+s w$, wobei $ s$ eine reelle Zahl ist. Er ist wegen $ v\cdot w = 0$ gleich lang wie der Vektor $ -v+s w$ von $ T_+$ zu $ A$.

Da $ \sqrt{1+s^2}$ für $ s\ne 0$ größer als $ 1$ ist, liegen außer $ T$ alle Punkte von $ \mathcal{H}$ auf der von $ T_-$ abgewandten Seite von $ \mathcal{B}_{\perp}$, denn es ist $ u(s)=x(s)+a(s)v$ mit positivem $ a(s)$. Da zudem $ \mathcal{B}_{\perp}$ und $ \mathcal{H}$ den Punkt $ T$ durchlaufen, berühren sie sich dort und $ \mathcal{B}_{\perp}$ ist die Tangente an die Hyperbel $ \mathcal{H}$ im Punkt $ T$. Sie steht senkrecht auf dem Ortsvektor von $ T_-$ nach $ T$.

Dies folgt auch, wenn man $ u(s)^2$ nach $ s$ differenziert. Für den Tangentialvektor $ \frac{du}{ds}$ erhält man

$\displaystyle u(s)\cdot u(s)=$konstant$\displaystyle \Rightarrow\, \frac{du}{ds}\cdot u = 0\ .$ (2.52)




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