Perspektiven

Peilt man waagerecht von einem Turm auf Meereshöhe zu einem zweiten, baugleichen Turm, der ebenfalls auf Meereshöhe steht, dann erscheint wechselseitig wegen der Erdkrümmung jeweils der andere Turm weniger hoch. Denn Höhe ist eine perspektivische Abmessung. Sie hängt davon ab, welche Richtung waagerecht ist, und bei den beiden Türmen sind diese Richtungen nicht gleich.

Perspektivische Verkürzung ist physikalisch wichtig. Weil man die Höhe einer Leiter durch Drehen verändern kann, kann eine gedrehte Leiter durch eine niedrige Tür passen, auch wenn die Länge der Leiter größer ist als die Höhe der Tür, und obwohl Drehungen weder die Maße der Tür noch der Leiter ändern.

Abbildung 2.17 stellt die perspektivische Höhe zweier zueinander gedrehter Maßstäbe ${\mathcal M}_0$ und ${\mathcal M}_\alpha$ in der Euklidischen Geometrie dar. Ein Kreis markiert Punkte gleichen Abstandes vom Mittelpunkt; die Tangente an den Kreis steht senkrecht auf dem Ortsvektor vom Mittelpunkt zum Kreis.

Die beiden Maßstäbe schneiden sich im Punkt $O$. Für einen Beobachter, der Höhe mit ${\mathcal M}_0$ mißt, sind Punkte gleich hoch wie $B$, wenn sie auf der Geraden durch $B$ liegen, die einen rechten Winkel mit dem Maßstab bildet. Insbesondere ist für ihn der Punkt $E$ gleich hoch wie der Punkt $B$. Die mit dem gedrehten Maßstab ${\mathcal M}_\alpha$ gemessene Länge zwischen $O$ und $E$ ist größer als die Länge zwischen den dazu gleich hohen Punkten $O$ und $B$, denn der Kreis durch $B$ schneidet den gedrehten Maßstab zwischen $O$ und $E$.

Abbildung 2.17: gedrehte Maßstäbe

Bezieht ein Beobachter Höhe auf die Richtung von ${\mathcal M}_\alpha$, so gilt ebenfalls, daß zwei Punkte auf dem dazu gedrehten Maßstab ${\mathcal M}_0$ weiter voneinander entfernt sind als zwei dazu gleichhohe Punkte auf dem Maßstab ${\mathcal M}_\alpha$ [21].

Wenn man in Abbildung 2.17 den Kreis durch eine Hyperbel ersetzt, so erhält man die geometrischen Verhältnisse der Raumzeit. Im Raumzeitdiagramm 2.18 markiert die Hyperbel $t^2-x^2= \tau^2$ für ein festes, positives $\tau^2$ und mit $t>0$ Ereignisse gleichen zeitlichen Abstandes zum Ursprung (2.36). Gleichförmig bewegte Uhren, die gleich gehen und auf geraden Weltlinien von Beobachtern ${\mathcal B}_0$ und ${\mathcal B}_v$ den Ursprung $t=0,\,x=0$ durchlaufen, zeigen bei Durchlaufen des Ereignisses, in dem ihre Weltlinie die Hyperbel schneidet, eine um $\tau$ spätere Zeit an.

Die Tangenten im Punkt $B$ und $B^\prime$ stehen senkrecht im Sinne des Skalarproduktes auf der Weltlinie von $O$ zu $B$ beziehungsweise von $O$ zu $B^\prime$ (2.52). Sie bestehen daher aus Ereignissen, die für den Beobachter ${\mathcal B}_0$ beziehungsweise ${\mathcal B}_v$ gleichzeitig stattfinden. Sie

Abbildung 2.18: Zeitdehnung

schneiden die Weltlinie des anderen Beobachters, bevor auf dessen Uhr die Zeit $\tau$ vergeht.

Vergeht auf einer Uhr zwischen zwei Ereignissen die Zeit $\tau$, so vergeht auf jeder bewegten Uhr zwischen den dazu gleichzeitigen Ereignissen die kürzere Zeit (2.36)

$$\tau_{EO}=\tau_{E^\prime O}=\sqrt{1-v^2}\, \tau\ ,$$ (2.53)

so wie zwei Punkten auf einer senkrechten Leiter einen kleineren Abstand haben als die gleichhohen Punkten auf einer geneigten Leiter. Die perspektivischen Verhältnisse in der Raumzeit sind, wie in der Euklidischen Geometrie, wechselseitig.

Die verkürzte Zusammenfassung ,,bewegte Uhren gehen langsamer`` unterschlägt die umständliche Angabe von Strecken $OE$ und $OB$ beziehungsweise $OE^\prime$ und $OB^\prime$, deren Dauer zu vergleichen ist, und ist Anlaß von Mißverständnissen. Denn ,,langsamer gehen`` ist eine Ordnungsrelation und es kann nicht die Uhr ${\mathcal B}_0$ langsamer als die Uhr ${\mathcal B}_v$ und ebenfalls die Uhr ${\mathcal B}_v$ langsamer als die Uhr ${\mathcal B}_0$ gehen. Tatsächlich gehen beide Uhren gleich, dies kann ein Schiedsrichter wie in Abbildung 2.2 überprüfen.

Verkürzung bewegter Maßstäbe kann man dem Diagramm 2.19 ablesen, das sich durch Spiegelung des Diagramms 2.18 ergibt. Im Diagramm 2.19 [22] durchlaufen Anfang und Ende gleichförmig bewegter Maßstäbe von Beobachtern ${\mathcal B}_0$ und ${\mathcal B}_v$ je ein Paar paralleler,

Abbildung 2.19: Verkürzung bewegter Maßstäbe

gerader Weltlinien. Beide Maßstäbe haben die Länge $l$, denn $B$ und $B^\prime$ liegen auf der hilfsweise eingezeichneten Hyperbel mit Ursprung in $O$, die von Punkten $P$ mit $-w_{{ PO}}{}^2=l^2$ gebildet wird.

Die Geraden durch $O$ und $B$ sowie $O$ und $B^\prime$ sind senkrecht im Sinne des Skalarproduktes zu den Weltlinien der Beobachter ${\mathcal B}_0$ und ${\mathcal B}_v$, denn es handelt sich jeweils um Orts- und (Parallele zu) Tangentialvektoren an eine Hyperbel (Seite ).

Daher sind für ${\mathcal B}_0$ die Ereignisse $O$ und $B$ gleichzeitig. In $O$ stimmen die linken Enden beider Maßstäbe überein. Aber der gegenüber ${\mathcal B}_0$ bewegte Maßstab ragt nur bis $E^\prime$, ist also kürzer als der eigene, der bis $B$ reicht.

Ebenso sind für ${\mathcal B}_v$ die Ereignisse $O$ und $B^\prime$ gleichzeitig. In $O$ stimmen die linken Enden beider Maßstäbe überein. Aber der gegenüber ${\mathcal B}_v$ bewegte Maßstab ragt nur bis $E$, ist also kürzer als der eigene, der bis $B^\prime$ reicht.

Im Diagramm 2.20 werden die Reisezeiten beim Zwillingsparadoxon mit der hilfsweise eingezeichneten Hyperbel von $M$ nach $\tau^\prime$ mit Ursprung bei $A$ und der Hyperbel von $M$ nach $\tau^{\prime\prime}$ mit Ursprung bei $E$ mit der Wartedauer verglichen.

Abbildung: Zwillingsparadoxon

Die Abschnitte von $A$ nach $\tau^\prime$ und von $\tau^{\prime\prime}$ nach $E$ auf der Weltlinie des Stubenhockers $\mathcal S$ dauern so lang, wie die Hin- und die Rückreise für den Reisenden $\mathcal R$. Der Stubenhocker ist zudem um die Zeit gealtert, die zwischen $\tau^\prime$ und $\tau^{\prime\prime}$ vergangen ist. Auf der geraden Weltlinie des Stubenhockers ist also mehr Zeit vergangen als auf der Weltlinie des Reisenden mit einen Knick.

Die Tangenten $M t^\prime$ und $Mt^{\prime\prime}$ an die Hyperbeln bestehen aus Ereignissen, die für einen Beobachter ${\mathcal B}_{\text{hin}}$, der mit zum Mars fliegt, beziehungsweise für einen Beobachter ${\mathcal B}_{\text{her}}$, der zurück fliegt, gleichzeitig zur Ankunft $M$ sind. Sie schneiden die Weltlinie des Stubenhockers bei $t^\prime$ und $t^{\prime\prime}$ und belegen, daß für den hin- und den herfliegende Beobachter auf der Uhr des Stubenhockers weniger Zeit vergeht als gleichzeitig auf der eigenen Uhr. Es stimmen aber die Ereignisse $t^\prime$ und $t^{\prime\prime}$ nicht überein, sie sind für verschiedene Beobachter gleichzeitig zur Marsankunft. Zwischen $t^\prime$ und $t^{\prime\prime}$ vergeht soviel Zeit, daß der Stubenhocker am Ende bei $E$ insgesamt mehr gealtert ist als der Reisende.