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Lorentztransformation von Koordinaten

Wie hängen die Koordinaten $ (t,x,y,z)$, die ein Beobachter $ {\mathcal B}$ einem Ereignis $ E$ zuschreibt, mit den Koordinaten $ (t^\prime, x^\prime, y^\prime, z^\prime)$ zusammen, die ein ihm gegenüber mit Geschwindigkeit $ v$ bewegter Beobachter $ {\mathcal B}^{\,\prime}$ für dasselbe Ereignis mißt?

Wir untersuchen zunächst den Fall, daß sich die Weltlinien beider Beobachter schneiden und daß sie dabei ihre Uhren auf $ t^\prime=t=0$ stellen. Einfachheitshalber wählen beide Beobachter ihre $ x$-Achse in Richtung der Relativbewegung, sodaß sich $ {\mathcal B}^{\,\prime}$ für $ {\mathcal B}$ in $ x$-Richtung und umgekehrt $ {\mathcal B}$ für $ {\mathcal B}^{\,\prime}$ in $ -x^\prime$-Richtung bewegt. Der Betrag der Relativgeschwindigkeit ist für beide Beobachter gleich, jeder sieht den anderen mit dem gleichen

Abbildung: Lorentztransformation
\begin{wrapfigure}{l}{46mm}\setlength{\unitlength}{.48cm}
\special{em:linewid...
...]{$T_-$}}
\put(-.4,7.5){\makebox(0,0)[r]{$T_+$}}
}
\end{picture}\end{wrapfigure}
Dopplerfaktor $ \kappa({\mathcal B},{\mathcal B}^{\,\prime})=\kappa({\mathcal B}^{\,\prime},{\mathcal B})$ verlangsamt (2.8).

Für Ereignisse $ E$ in der Ebene, die von den Weltlinien der Beobachter aufgespannt wird, gilt dann $ y=z=0$ und $ y^\prime=z^\prime=0$. Aus dem Diagramm (3.1) liest man ab, wie die Koordinaten $ t^\prime$ und $ x^\prime$ mit $ t$ und $ x$ zusammenhängen. Wenn die Lichtstrahlen, die das Ereignis $ E$ durchlaufen, die Weltlinien der Beobachter schneiden, so zeigen deren mitgeführte Uhren die Zeiten $ T_-$ und $ T_+$ sowie $ T_-^\prime$ und $ T_+^\prime$ an. Dabei sind $ T_-^\prime$ und $ T_-$ sowie $ T_+$ und $ T_+^\prime$ einander mit dem Dopplerfaktor

$\displaystyle \kappa(v) = \sqrt{\frac{1+v}{1-v}}=\frac{1+v}{\sqrt{1-v^2}}$ (3.1)

proportional, denn es sind Zeiten, die gleiche Uhren bei Aussenden und Empfangen eines Lichtpulses zeigen (2.11). Also mißt der Beobachter $ \mathcal{B}^{\,\prime}$ für das Ereignis $ E$ die Lichtkoordinaten

$\displaystyle T_+^\prime= {\kappa}^{-1}\, T_+\ , \quad T_-^\prime= \kappa\, T_-\ .$ (3.2)

Die Transformation der zwei Lichtkoordinaten zerfällt in zwei Transformationen je einer Koordinate, denn $ T_+^\prime$ hängt nur von $ T_+$ und $ T_-^\prime$ nur von $ T_-$ ab. In den Koordinaten $ t^\prime=(T_+^\prime + T_-^\prime)/2$ und $ x^\prime=(T_+^\prime - T_-^\prime)/2$ entkoppeln die Transformationen nicht

$\displaystyle t^\prime = \phantom{-}\frac{1}{2}(\kappa+\kappa^{-1})\,t -\frac{1...
...me = -\frac{1}{2}(\kappa-\kappa^{-1})\,t +\frac{1}{2}(\kappa+\kappa^{-1})\,x\ .$ (3.3)

Setzen wir hier $ \kappa(v)$ und $ 1/\kappa(v) = \kappa(-v)=(1-v)/\sqrt{1-v^2}$ (2.12) ein, so heißt dies

$\displaystyle t^\prime = \frac{t-v\,x}{\sqrt{1-v^2}}\ ,\quad x^\prime= \frac{-v\,t+x}{\sqrt{1-v^2}}$   oder$\displaystyle \quad \begin{pmatrix}t^\prime\\ x^\prime \end{pmatrix} =\frac{1}{...
... & -v \\ -v & \phantom{-}1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}t \\ x \end{pmatrix}\ .$ (3.4)

Dies ist im Maßsystem $ c=1$ die Lorentztransformation der Koordinaten eines Ereignisses $ E$ in der $ t$-$ x$-Ebene auf die $ t^\prime$-$ x^\prime$-Koordinaten, die ein in $ x$-Richtung mit Geschwindigkeit $ v$ bewegter Beobachter demselben Ereignis zuschreibt.

Aus (3.2) sieht man, daß $ \kappa^{-1}$ und daher $ -v$ zur Umkehrtransformation gehört: für $ {\mathcal B}^{\,\prime}$ bewegt sich $ {\mathcal B}$ mit Geschwindigkeit $ v$ in $ -x^\prime$-Richtung.



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