Lorentztransformation von Koordinaten

Wie hängen die Koordinaten $(t,x,y,z)$, die ein Beobachter ${\mathcal B}$ einem Ereignis $E$ zuschreibt, mit den Koordinaten $(t^\prime, x^\prime, y^\prime, z^\prime)$ zusammen, die ein ihm gegenüber mit Geschwindigkeit $v$ bewegter Beobachter ${\mathcal B}^{\,\prime}$ für dasselbe Ereignis mißt?

Wir untersuchen zunächst den Fall, daß sich die Weltlinien beider Beobachter schneiden und daß sie dabei ihre Uhren auf $t^\prime=t=0$ stellen. Einfachheitshalber wählen beide Beobachter ihre $x$-Achse in Richtung der Relativbewegung, sodaß sich ${\mathcal B}^{\,\prime}$ für ${\mathcal B}$ in $x$-Richtung und umgekehrt ${\mathcal B}$ für ${\mathcal B}^{\,\prime}$ in $-x^\prime$-Richtung bewegt. Der Betrag der Relativgeschwindigkeit ist für beide Beobachter gleich, jeder sieht den anderen mit dem gleichen

Abbildung: Lorentztransformation

Dopplerfaktor $\kappa({\mathcal B},{\mathcal B}^{\,\prime})=\kappa({\mathcal B}^{\,\prime},{\mathcal B})$ verlangsamt (2.8).

Für Ereignisse $E$ in der Ebene, die von den Weltlinien der Beobachter aufgespannt wird, gilt dann $y=z=0$ und $y^\prime=z^\prime=0$. Aus dem Diagramm (3.1) liest man ab, wie die Koordinaten $t^\prime$ und $x^\prime$ mit $t$ und $x$ zusammenhängen. Wenn die Lichtstrahlen, die das Ereignis $E$ durchlaufen, die Weltlinien der Beobachter schneiden, so zeigen deren mitgeführte Uhren die Zeiten $T_-$ und $T_+$ sowie $T_-^\prime$ und $T_+^\prime$ an. Dabei sind $T_-^\prime$ und $T_-$ sowie $T_+$ und $T_+^\prime$ einander mit dem Dopplerfaktor

$$\kappa(v) = \sqrt{\frac{1+v}{1-v}}=\frac{1+v}{\sqrt{1-v^2}}$$ (3.1)

proportional, denn es sind Zeiten, die gleiche Uhren bei Aussenden und Empfangen eines Lichtpulses zeigen (2.11). Also mißt der Beobachter $\mathcal{B}^{\,\prime}$ für das Ereignis $E$ die Lichtkoordinaten

$$T_+^\prime= {\kappa}^{-1}\, T_+\ , \quad T_-^\prime= \kappa\, T_-\ .$$ (3.2)

Die Transformation der zwei Lichtkoordinaten zerfällt in zwei Transformationen je einer Koordinate, denn $T_+^\prime$ hängt nur von $T_+$ und $T_-^\prime$ nur von $T_-$ ab. In den Koordinaten $t^\prime=(T_+^\prime + T_-^\prime)/2$ und $x^\prime=(T_+^\prime - T_-^\prime)/2$ entkoppeln die Transformationen nicht

$$t^\prime = \phantom{-}\frac{1}{2}(\kappa+\kappa^{-1})\,t -\frac{1... ...me = -\frac{1}{2}(\kappa-\kappa^{-1})\,t +\frac{1}{2}(\kappa+\kappa^{-1})\,x\ .$$ (3.3)

Setzen wir hier $\kappa(v)$ und $1/\kappa(v) = \kappa(-v)=(1-v)/\sqrt{1-v^2}$ (2.12) ein, so heißt dies

$$t^\prime = \frac{t-v\,x}{\sqrt{1-v^2}}\ ,\quad x^\prime= \frac{-v\,t+x}{\sqrt{1-v^2}} \quad \begin{pmatrix}t^\prime\\ x^\prime \end{pmatrix} =\frac{1}{... ... & -v \\ -v & \phantom{-}1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}t \\ x \end{pmatrix}\ .$$ (3.4)

Dies ist im Maßsystem $c=1$ die Lorentztransformation der Koordinaten eines Ereignisses $E$ in der $t$-$x$-Ebene auf die $t^\prime$-$x^\prime$-Koordinaten, die ein in $x$-Richtung mit Geschwindigkeit $v$ bewegter Beobachter demselben Ereignis zuschreibt.

Aus (3.2) sieht man, daß $\kappa^{-1}$ und daher $-v$ zur Umkehrtransformation gehört: für ${\mathcal B}^{\,\prime}$ bewegt sich ${\mathcal B}$ mit Geschwindigkeit $v$ in $-x^\prime$-Richtung.