Lorentztransformation in vier Dimensionen

Auch wenn allgemeiner das Ereignis $E$ nicht in der $t$-$x$-Ebene liegt, muß die Lorentztransformation $L$ der $(t,x,y,z)$-Koordinaten auf $(t^\prime, x^\prime, y^\prime, z^\prime)$-Koordinaten linear sein.

Denn die Weltlinien freier Teilchen sind für jeden Beobachter Geraden in der Raumzeit. Folglich werden Dreiecke, die von drei sich schneidenden Geraden gebildet werden, auf Dreiecke abgebildet. Da Dreicke von Differenzvektoren $u$ und $v$ aufgespannt werden, wobei für die dritte Seite $w=u+v$ gilt, gilt $L(u+v)=L(u)+L(v)$ für die transformierten Seiten. Wegen $L(u+u)=L(u)+L(u)$ gilt $L(n\, u) = n\, L(u)$ für ganzzahlige $n$, aus $L(u) = L(n\, (1/n\, u))=n\, L(1/n\, u)$ folgt $L(a\,u)=a\,L(u)$ für rationales $a$ und, weil $L$ stetig ist, für jedes reelle $a$. Also ist $L$ linear.

Die Koordinaten $y^\prime$ und $z^\prime$ sind Linearkombination von $t$, $x$, $y$ und $z$, die für beliebige $t$ und $x$ verschwinden, wenn das Ereignis $E$ in der Ebene $y=z=0$ liegt. Daher hängen sie nicht von $t$ und $x$ ab

$$\begin{pmatrix}y^\prime \\ z^\prime \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y \\ z \end{pmatrix}\ .$$ (3.5)

Ebenso sind $t^\prime= (t-v x)/\sqrt{1-v^2}+ ey+fz$ und $x^\prime= (-v\,t+x)/\sqrt{1-v^2}+ gy+hz$ Linearkombinationen, die für $y=z=0$ mit (3.4) übereinstimmen.

Die Lorentztransformation muß Längenquadrate invariant lassen (2.37). Denn die Zeit, die auf einer gleichförmig bewegten Uhr zwischen $O$ und $E$ vergeht, hängt nicht vom Beobachter ab. Da sich das Skalarprodukt als Differenz von Längenquadraten schreiben läßt (2.47), müssen Lorentztransformationen alle Skalarprodukte invariant lassen.

Daher verschwinden die Koeffizienten $e$, $f$, $g$ und $h$. Denn die vier Basisvektoren $(\sqrt{1-v^2},0,0,0)$, $(0,\sqrt{1-v^2},0,0)$, $(0,0,1,0)$ und $(0,0,0,1)$ stehen aufeinander senkrecht. Diese Vektoren haben für $\mathcal{B}^{\,\prime}$ die Komponenten $(1, -v,0,0)$, $(-v,1,0,0)$, $(e, g, a, c)$ und $(f,h,b,d)$ und die ersten beiden müssen auf den letzten beiden senkrecht stehen.

Also gelten (3.4) und (3.5) für beliebige $(t,x,y,z)$, wobei (3.5) noch dadurch eingeschränkt ist, daß alle Längenquadrate invariant sind,

$$(ay + bz)^2+ (cy+dz)^2=(a^2+c^2)y^2 + 2(ab+cd)yz + (b^2+d^2)z^2 = y^2+z^2\ .$$ (3.6)

Dies gilt genau dann für alle $y$ und $z$, wenn $a^2+c^2=1$, $ab+cd=0$ und $b^2+d^2=1$ erfüllt sind. Wegen $ab+cd=0$ ist $(b,d)$ ein Vielfaches von $(-c, a)$, wegen $a^2+c^2=b^2+d^2$ kann nur $(b,d)=\pm (-c, a)$ gelten, und wegen $a^2+c^2=1$ lassen sich $a$ und $c$ als Kosinus und Sinus eines Winkels $\varphi$ schreiben. Daher ist die Lorentztransformation in der zur Bewegungsrichtung senkrechten Ebene eine Drehspiegelung oder eine Drehung

$$\begin{pmatrix}y^\prime \\ z^\prime \end{pmatrix} = \begin{pmatri... ...i & \phantom{-}\cos\varphi \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y \\ z \end{pmatrix}\ .$$ (3.7)

Falls $\varphi=0$ ist, nennt man die Lorentztransformation drehungsfrei.

$$t^\prime= \frac{t-v\,x}{\sqrt{1-v^2}}\ ,\quad x^\prime=\frac{-v\,t + x }{\sqrt{1-v^2}}\ ,\quad y^\prime = y\ ,\quad z^\prime = z$$ (3.8)

In Matrixschreibweise lautet sie einschließlich der konventionellen Faktoren $c$

$$\begin{pmatrix}c\,t^\prime\\ x^\prime\\ y^\prime\\ z^\prime \end{... ... &1 \end{matrix} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}c\,t\\ x\\ y\\ z \end{pmatrix}\ .$$ (3.9)

Diese Lorentztransformation ist als passive Transformation zu lesen, die den Zusammenhang der Koordinaten beschreibt, die $\mathcal{B}$ und $\mathcal{B}^{\,\prime}$ für Ereignisse $E$ verwenden. Sie verändert nicht die Ereignisse. Als aktiv bezeichnet man diejenigen Transformationen, die Ereignisse auf andere Ereignisse abbilden. Dreht man in (3.9) das Vorzeichen der Geschwindigkeit $v$ um, so erhält man die Matrix der Lorentztransformation, die aktiv die Weltlinie eines ruhenden Teilchens im unveränderten Koordinatensystem auf die Weltlinie eines Teilchens abbildet, das sich mit Geschwindigkeit $v$ in $x$-Richtung bewegt.

Wenn man bei einer Drehung den Drehwinkel stetig von Null bis zu seinem Endwert

Abbildung 3.2: Lorentzfluß

vergrößert, so durchläuft dabei jeder Punkt einen Kreisbogen, denn Drehungen lassen den Abstand zum Ursprung ungeändert. Ebenso durchlaufen im Diagramm (3.2) Punkte in der Raumzeit Hyperbeln, wenn man auf die Punkte Lorentztransformationen anwendet, deren Geschwindigkeiten Werte von Null bis $v$, $\vert v\vert<1$, durchlaufen. Denn Lorentztransformationen lassen das Längenquadrat $t^2-x^2-y^2-z^2$ invariant. Insbesondere werden lichtartige Vektoren in der $t$-$x$-Ebene gestreckt oder gestaucht. Der Ursprung ist ein hyperbolischer Fixpunkt. Er wird nicht wie bei Drehungen als Wirbel von Nachbarpunkten umkreist, sondern wie ein Staupunkt umflossen.

Bezeichnen wir in (3.9) den Vierervektor $(c\,t,x,y,z)$ kurz mit $x$ und die $4\times 4$ Lorentzmatrix mit $\Lambda$, so schreibt sich die Lorentztransformation als

$$x^\prime = \Lambda\, x\ .$$ (3.10)

Umgekehrt gilt $x=\Lambda^{-1}\,x^\prime\,$, und wir erhalten die Koordinaten $(c\,t,x,y,z)$ aus den Koordinaten $(c\,t^\prime,x^\prime,y^\prime,z^\prime)$ durch Multiplikation mit der inversen Lorentzmatrix. Dies ist bei drehungsfreien Lorentztransformationen die ursprüngliche Lorentzmatrix, in der $v$ durch $-v$ ersetzt ist.

Allgemeiner kann sich bei einer Lorentztransformation der Beobachter ${\mathcal B}^{\,\prime}$ mit Geschwindigkeit $\vec{v}$ in eine beliebige Richtung bewegen, und seine räumlichen Bezugsrichtungen können gegenüber ${\mathcal B}$ verdreht sein. Die Matrix solch einer Lorentztransformation ist von der Form $\Lambda = D_1 \Lambda_x D_2$ (D.34), wobei $D_1$ und $D_2$ Drehmatrizen sind und $\Lambda_x$ die Matrix in (3.9) ist, die zu Bewegung in $x$-Richtung gehört.

Darüberhinaus müssen sich die Weltlinien beider Beobachter nicht im Ursprung schneiden, sondern können gegeneinander zeitlich und räumlich um $a=(a^0,a^1,a^2,a^3)$ verschoben sein. Dann gehen die $x^\prime$-Koordinaten durch die Poincaré-Transformation

$$x^\prime = \Lambda x + a$$ (3.11)

aus den $x$-Koordinaten hervor.

Daß Poincaré-Transformationen die allgemeinsten Transformationen sind, die die zeitlichen Abstände von Ereignissen unverändert lassen (2.37), ergibt sich aus der Killing-Gleichung (E.29, E.31). Aber Lorentztransformationen und Verschiebungen sind nicht die allgemeinsten Transformationen, die die Lichtgeschwindigkeit invariant lassen. Sie bleibt bei konformen Transformationen ungeändert, die eine größere Gruppe bilden, und zu denen insbesondere die Streckungen aller Koordinaten, die Dilatationen $x^\prime = \mathrm{e}^\sigma x\,$, gehören. Daher erscheint mir die Herleitung von Lorentztransformationen aus dem Verhalten einer Lichtuhr nicht zwingend, denn dabei wird unterstellt statt hergeleitet, daß sich die räumlichen Koordinaten senkrecht zur Bewegungsrichtung nicht ändern.